چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
264 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirabbas
ویرایش شده توسط fardina

لطفا رابطه مثلثاتی زیر را اثبات کنید.

فرض کنید :$a,b \in\mathbb{R^{>0}}$

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \tan^{-1}(\frac{b}{a}))$$
دارای دیدگاه توسط amirabbas
@fardina
با روشی که گفتید اثبات شد.علامت A , B شرط خاصی نداره.میتونن منفی باشن. در واقع این رابطه تعمیم این اتحاده:

$$ sinx + cosx = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) $$
دارای دیدگاه توسط fardina
بجای sin بنویسید \sin که دارای نمایشهای $sin$ و $\sin$ هستند.
ولی من گمان میکنم برای منفی ها درست باشه مثلا وقتی $a=b=-1$ و $x=90$
دارای دیدگاه توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas
@fardina
برای مثال وقتی $b=-1, a=1$ باز هم درسته. انگار وقتی a , b هر دو منفی باشن نادرسته.
دارای دیدگاه توسط amirabbas
@fardina

فکر کنم a قدر مطلق نیاز داشته باشه.
$$\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha) = |a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x})$$
دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
+1
یکی مثبت و یکی منفی هم درست نیست مثلا $a=-1$ و $b=\sqrt 3$ در اینصورت با زاویه $x=90$ برابری ایجاد نمیشه.
ولی اگر $a>0$ رابطه برقراره. یعنی میتونیم فقط شرط بزاریم که $a$ مثبت باشه و یا اینکه به قول شما $a$ رو با قدرمطلق بزاریم و شرطی نزاریم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas
$$ \beta = \tan^{-1}(\frac{b}{a}) $$

می دانیم:

$$\sin(\tan^{-1}(\frac{b}{a})) = \frac{\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}} $$ $$\cos(\tan^{-1}(\frac{b}{a})) = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}} $$

عبارت $\sin(x + \alpha)$ را بسط می دهیم.

$$ \sin(x+\beta) = \sin{x}\cos{\beta} + \sin{\beta}\cos{x} $$ $$\sin(x+\beta) = \frac{|a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x})}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

و در آخر:

$$ \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \beta) = |a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x}) $$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
54 نفر آنلاین
0 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4166
بازدید دیروز: 5680
بازدید کل: 4670547
...