به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
121 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas

$$ f(x) = 4 $$ $$ g(x) = 3 $$

$$ (f(x)g(x))' = g(x)f'(x) + f(x)g'(x) $$ $$\begin{align} f(x)g(x) =& \int{g(x)f'(x)dx} + \int{f(x)g'(x)dx}\\=&\int{3f'(x)dx} + \int{4g'(x)dx}\\=&3\int{f'(x)dx} + 4\int{g'(x)dx}\\=&3(f(x) + c_1) + 4(g(x) + c_2) \end{align} $$

با توجه به فرضمان $c_1 = c_2 = 0$پس نتیجه می شود $$12 = 24$$

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
از کجا فرض شده $c_1=c_2=0$؟ این ثابت‌ها پس از انتگرال گرفتن ایجاد شده‌اند، قبلش اصلا نبوده‌اند که بخواهید در پرسش فرضشان کنید.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
در ضمن سمت چپ که از $(fg)'$ انتگرال گرفته‌اید نیز برای خودش ثابت دارد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط amirabbas
 
بهترین پاسخ

اشتباه شما اینجاست که $\int f'(x)dx=f(x)+c$ ولی شما ثابت را جای انداخته‌اید.

دارای دیدگاه توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas
@AmirHosein
پرسسش رو ویرایش کردم که منظورم رو دقیقا بگم.تا الان فکر می کردم ثابتی که در انتگرال نامعین در نظر گرفته میشه به خاطر اینه که ما خبر نداریم از چه تابعی مشتق گرفته شده.یعنی اگر از یک تابع کاملا مشخص هم مشتق بگیریم و بعد از آن انتگرال بگیریم نمی توانیم بگوییم حاصل با آن تابع موردنظر ما برابر است؟ یعنی مفهوم تابع اولیه با آن تابعی که از آن مشتق گرفته ایم فرق دارد؟ اگر داشته باشیم:
$$ f(x) = 2 $$
$$ f'(x) = 0 $$
$$\int{f'(x)dx} =  \int{0dx} = c$$

نمی توانیم با توجه به فرضمان نتیجه بگیریم $c=2$ ؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@amirabbas اشتباه فکر می‌کردید. با فرض اینکه بدانید تابع اولیه چه هست تازه می‌توانید بنویسید F بعلاوهٔ یک ثابت. اگر ندانید تابع اولیه چه هست که باید انتگرال را همان‌گونه نگه دارید. مقدار ثابت نیز در صورتی که ابتدا و انتهای بازهٔ انتگرال را مشخص نکرده‌اید یک عدد ثابت نیست بلکه یک پارامتر است. با تغییر ابتدا و انتهای بازهٔ انتگرال‌گیری مقدار ثابت متفاوت خواهد بود. بعلاوه اینکه بگوئید انتگرالِ مشتقِ یک تابع برابر خودش می‌شود اشتباه است. برای نمونه $x+1$ و $x+2$ مشتق یکسان دارند، اگر قرار می‌بود انتگرال مشتقشان خودشان شود که تناقض ساخته می‌شد. اگر قضیهٔ مربوط به تابع اولیه را درست نگاه کنید می‌گوید $\int_a^b f'(x)dx= f(b)-f(a)$.  حالا اگر به جای $x$ از نماد $t$ استفاده کنید و به جای $a$ صفر و به جای $b$ ایکس بگذارید، خواهید داشت:
$\int_0^x f'(t)dt=f(x)-f(0)$ اکنون می‌بینید که آن $+c$ از کجا آمده است! در واقع چیزی نیست به جز $-f(0)$.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2277
بازدید دیروز: 5314
بازدید کل: 4992934
...