به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
76 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Neseli
ویرایش شده توسط saderi7

اعداد مثبت $x,y ,z$ که $x+y+z=1$ مفرضند. ثابت کنید: $$ x^{3} + y^{3} + z^{3} \ \geq \frac{1}{3} ( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) $$

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
 
بهترین پاسخ

روش اول

دو تا بردار $u , t $ رو تعریف میکنیم :

$$t=(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}) \ \ , \ \ u=(x\sqrt{x},y\sqrt{y},z\sqrt{z})$$

حال از نامساوی Cauchy–Schwarz inequality خواهیم داشت :

$$x^2+y^2+z^2 = \left|u\cdot t\right|\leq \|u\|\cdot\|t\|=\sqrt{x+y+z}\sqrt{x^3+y^3+z^3}$$

و همچنین خواهیم داشت :

$$ 3(x^2+y^2+z^2)=(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2 = 1 $$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ x^3+y^3+z^3 \geq (x^2+y^2+z^2)^2 \geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)$$ $ \Box .$

روش دوم

دو طرف نامساوی را ضرب در $3$ میکنیم و همچنین سمت راست را ضرب در $(x+y+z)=1$ $$3(x^2+y^2+z^2)\geq (x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$$ $$(x-y)(x^2-y^2)+(y-z)(y^2-z^2)+(z-x)(z^2-x^2)\geq 0$$ مشاهده میشود که نابرابری درست است .

$ \Box .$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2357
بازدید دیروز: 5314
بازدید کل: 4993014
...