به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
75 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط علیرضاخان

با سلام میخواستم بدانم چرا مشتق تابع در نواحی که شکستگی در تابع وجود دارد تعریف نمی شود. با تشکر

مرجع: کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال فصل اول قسمت هفتم صفحه سی و نه

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط علیرضاخان
 
بهترین پاسخ

با سلام خوش آمدید .


ابتدا با تعریف مشتق شروع میکنیم .

فرص کنید $x=a$ :

1-) در دامنه تابع $f$ باشد .

2-) یک نقطه حدی تابع $f$ باشد .

آنگاه تعریف میکنیم

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} :=\dfrac{d}{dx}f(a)=f'(a)$$

اگر این حد موجود باشد .

در نتیجه اگر یک نقطه موجود باشه که در دو شرط $(1),(2)$ صدق کنه میتوان مشتق برای آن نقطه تعریف کنیم . که ممکنه مشتق آن موجود باشد یا مشتق آن موجود نباشد . پس تمیز قائل بشید بین :

الف) مشتق تعریف نمیشود در یک نقطه .

ب) مشتق وجود ندارد در یک نقطه .


مثال :

تابع$f(x)=|x|$ در نظر بگیرید . آیا در نقطه $x=0$ مشتق تعریف میشود ؟ و اگر تعریف میشود .آیا مشتق آن وجود دارد ؟

میدانیم که $x=0$ برای تابع$f$ نقطه حدی است و در دامنه تابع هم وجود دارد . در نتیجه مشتق تعریف میشود . حال به دنبال آن هستیم که ببینیم مشتق آن وجود دارد یا خیر .

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x} $$

میدانیم که $\frac{|x|}{x}$ تابع علامته . نمودارشو در نظر بگیرید :

enter image description here

مشتق چپ و راست آن باهم یکی نیست در نتیجه تابع $f$ در نقطه $x=0$ مشتق ندارد .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...