به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
371 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirabbas

سلام.

من می خواستم با استفاده از انتگرال ثابت کنم مساحت دایره ای به شعاع 1 برابر با $\pi$ است.

بر طبق تعریف دایره باید مساحت $x^2 + y^2 = 1$ را محاسبه کنیم.پس می توانیم $y$ را بر حسب $x$ بدست آوریم. بر این اساس اگر $ y = \sqrt{1-x^2} $ نشان دهنده یک نیم دایره باشد. با محاسبه زیر می توان مساحت دایره کامل را بدست آورد:

$$ 2\int^1_{-1}{\sqrt{1-x^2}dx} $$

ولی این اثبات دارای یک مشکل اساسی است. در بدست آوردن مکان هندسی دایره بر حسب $y$ اثبات نشده که تابع حاصل نیم دایره بوده و در نتیجه مساحت دایره کامل دو برابر آن است.

سوالم اینه که چگونه می توان ابهام یاد شده را برطرف کرد؟ آیا باید مکان هندسی نیم دایره ای به شعاع یک را $y = \sqrt{1-x^2}$ تعریف کنیم و یا اینکه اصلا مکان هندسی دایره را بر حسب $y$ محاسبه نکرده در عوض تعریفی برای مساحت یک نگاشت مثل مکان هندسی دایره ارائه کنیم؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirm20
انتخاب شده توسط amirabbas
 
بهترین پاسخ

با سلام

اول بیا تعریف کنیم خود دایره را :

مجموعه ای از نقاط که فاصله آن نقاط از یک نقطه ثابت ( واقع در همان صفحه ) برابر مقدار ثابتی است .

حالا دو نقطه از دایره رو در نظر بگیر بهم وصلشون کن طوری این خط از مرکز دایره بگذرد ( همان نقطه ایی که ثابت بود ) . به این خط میگیم قطر دایره . حالا اگر در دایره قطر دایره رو بکشی دو قسمت ایجاد میشه که هرکدومشونو میگیم نیم دایره . پس هر نیم دایره گراف ( نمودار ) یک تابع میتوان تعریف کرد . طوری که فاصله همه نقاط آن از مرکز دایره مقدار ثابتی هست. تا این جا دو تا دو تابع داریم با نمودارشون . اما ضابطه شو نداریم .! چگونه ضابطه رو بدست بیاوریم .؟ ابتدا مرکز نیم دایره رو در مبدا دستگاه دکارتی قرار میدیم . بعد با استفاده از ویژیگی که داشت یعنی فاصله نقاطشون از مرکز مقدار ثابت است بدست می آوریم . در نتیجه خواهیم داشت :

enter image description here

حالا که دو تا تابع داریم که ضابطه شونو داریم . با استفاده از انتگرال میتونیم مساحتشونو که پیدا کنیم به این صورت که :

برای نیم دایره ایی که در زیر محور ایکس هاس داریم :

$$ \int_{-a^2}^{a^2} -\sqrt{a^2-x^2}dx =\dfrac{\pi a^2}{2} $$

و برای نیم دایره ایی که در بالای محور ایکس هاس داریم :

$$ \int_{-a^2}^{a^2} \sqrt{a^2-x^2}dx =\dfrac{\pi a^2}{2}$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@amirm20
انتگرال ها نباید از $-a$ تا $a$ باشند؟
دارای دیدگاه توسط majidgh69
بله بازه ها باید به مقدار شعاع دایره باشد.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...