به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

فرض کنید : $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ و $a\in {A}$ حالا اگر تابع $f$ در نقطه $a$ مشتق پذیر نباشد و پیوسته هم نباشد . آگاه چه اطلاعاتی از اطراف آن نقطه میتوان بدست آورد . یعنی اینکه بگوییم وجود دارد یک همسایگی در اطراف نقطه $a$ به طوری که (...........) .

و اینکه فرض کنید $f'(a)\neq\pm \infty$

آیا میتوانیم نتیجه بگیریم که نقطه $a$ اکسترمم نسبی نیست ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

از اینکه یک تابع در یک نقطه نه پیوسته و نه مشتق‌پذیر است بدون هیچ فرض دیگری، هیچ نتیجه‌ای نسبت به پیوستگی و مشتق‌پذیری‌اش در همسایگی محذوفش نمی‌توان گرفت. حتی در مورد اکسترمم بودنش نیز همینطور. برای نمونه تابع را در صفر، یک و در غیر صفر، صفر تعریف کنید. در صفر نه مشتق‌پذیر است و نه پیوسته (پیوسته‌نبودن، مشتق‌پذیر نبودن را نیز نتیجه می‌دهد). اما با این حال بیشینهٔ نسبی و مطلق است. برای ساخت مثال که کمینه شود کافیست در صفر به جای یک، منفی یک انتخاب کنید. این تابع با اینکه در صفر پیوسته نیست ولی در همسایگی محذوفش هم پیوسته و هم مشتق‌پذیر است.

برای ساخت مثالی که در هیچ همسایگی محذوف این نقطه پیوسته نباشد کافیست این ایدهٔ پرشی بودن را روی بازه‌های $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ پیاده کنید. برای اینکه نقطهٔ صفر کمینه یا بیشینه یا هیچ‌کدام شود نیز کافیست مقادیر تابع‌تان در این پرش‌ها را مناسب انتخاب کنید.

نتیجه اینکه از ناپیوستگی تابع در یک نقطه‌اش بدون داشتن هیچ اطلاعات بیشتری، چیزی از پیوستگی، مشتق‌پذیری در همسایگی‌اش درنمی‌یابید و همینطوری از وضعیت اکسترمم‌بودنش.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
48 نفر آنلاین
0 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4399
بازدید دیروز: 4974
بازدید کل: 4852854
...