به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
1,977 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط rashooda

دوستان سلام چجوری میشه با داشتن مختصات دو یا چند نقطه(نقاط سبزرنگ شکل) روی محیط یک دایره، مختصات نقطه مرکز دایره(نقطه قرمز رنگ) را بدست آورد؟

enter image description here

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

معادلهٔ دایره به مرکز $(a,b)$ و شعاع $r$ را به یاد آورید. اکنون فرض کنید چند نقطه از روی دایره مانند $(x_i,y_i)$ دارید. آنها را در معادله $(x_i-a)^2+(y_i-b)^2=r^2$ جایگذاری کنید. سه مجهول دارید. با داشتن سه معادله کار تمام است. پس دست کم نیاز به سه نقطه دارید تا یک دایرهٔ یکتا را مشخص کنید.

فرض کنیم نمی‌دانید چگونه این دستگاه سه معادله‌-سه مجهول که خطی نیست را حل کنید. دو فرمول زیر را به راحتی با کمک پایه‌های گروبنر می‌توانید بدست آورید.

$$a=-(-{x_{{1}}}^{2}y_{{2}}+{x_{{1}}}^{2}y_{{3}}+{x_{{2}}}^{2}y_{{1 }}-{x_{{2}}}^{2}y_{{3}}-{x_{{3}}}^{2}y_{{1}}+{x_{{3}}}^{2}y_{{2}}-{y_{ {1}}}^{2}y_{{2}}+{y_{{1}}}^{2}y_{{3}}+y_{{1}}{y_{{2}}}^{2}-y_{{1}}{y_{ {3}}}^{2}-{y_{{2}}}^{2}y_{{3}}+{y_{{3}}}^{2}y_{{2}})/(2\,x_{{1}}y_{{2}} {-2\,x_{{1}}y_{{3}}-2\,x_{{2}}y_{{1}}+2\,x_{{2}}y_{{3}}+2\,x_{{3}}y_{{1 }}-2\,x_{{3}}y_{{2}}}) $$

$$b=-(x_1^2x_2-x_1^2x_3-x_1x_2^2+x_1x_3^2-x_1y_2^2+x_1y_3^2+x_3x_2^2-x_3^2x_2+y_1^2x_2-x_2y_3^2-y_1^2x_3+x_3y_2^2)/(2\,x_{{1}}y_{{2}} -2\,x_{{1}}y_{{3}}-2\,x_{{2}}y_{{1}}+2\,x_{{2}}y_{{3}}+2\,x_{{3}}y_{{1 }}-2\,x_{{3}}y_{{2}} )$$ سپس $r^2$ را شبیه یک متغیر در نظر بگیرید. با جایگذاری مقادیر $a$ و $b$ که از دو فرمول بالا بدست آمده‌اند در هر یک از سه معادله به دلخواه خودتان یک معادلهٔ سادهٔ $r^2=\ldots$ دارید.

تصویر محاسبات پایهٔ گروبنر با نرم‌افزار Maple را نیز برای افرادی که ممکن است علاقه‌داشته‌باشند در زیر قرار دادم. enter image description here

دارای دیدگاه توسط Mostafa_jalali_mj
+1
سلام
رابطه b عینا کپی شده a هست
لطفا رابطه b رو اصلاح کنید
روشتون خیلی خوب بود و فرمول a رو تست کردم و جواب گرفتم.
ممنون میشم از طریق واتساپ‌یا تلگرام راهنمایی بفرمایید00989124892127
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Mostafa_jalali_mj بله صورت کسر مربوط به $a$ به اشتباه برای $b$ کپی شده‌بود.

از واتساپ استفاده نمی‌کنم، استفاده از تلگرام را نیز پس از اینکه دولت با آن به مشکل برخورده‌است کم کرده‌ام و به زودی کاملا قطع می‌کنم. به هر حال اگر پرسشی دارید در همین سایت قرار دهید، هر یک از دوستان که بتوانند و زمان داشته‌باشند کمک‌تان خواهند کرد.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...