به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
–1 امتیاز
196 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

با سلام من تو سایتی قضیه چند جمله ایی تیلور رو دیدم اما فرق میکرد . میخواستم بدونم درسته .!

enter image description here

چند جمله ایی تیلور در نقطه $a$ : enter image description here

اما تو کتاب های عمومی و بیشتر کتا بها نوشته تابع $f$ باید در همسایگی نقطه $a$ باید $n$ بار مشتق پذیر باشد .

مرجع: Irena Swanson Reed College Spring 2016 -Introduction to Analysis

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

قضیه تیلور بیان می کند که اگر $f:[a,b]\to \mathbb R$ تابعی باشد که $n+1$ بار در $(a, b)$ مشتق پذیر و مشتق $n$اُم بر $[a, b]$پیوسته باشد آنگاه $c\in (a, b)$ موجود است که $$f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$$

یک نتیجه سریع این مطلب ان است که اگر $\alpha,\beta\in [a,b]$ و $\alpha\neq \beta $ در اینصورت می توانید فرمول تیلور را به صورت $$f(\beta)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(\beta-\alpha)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(\beta-\alpha)^{n+1}$$ برای $c$ ای بین $\alpha$ و $\beta$ . و توجه کنید فرقی نمیکنه که $\alpha< \beta$ یا $\beta< \alpha$ همواره می تونید یکیشونو بر حسب اون یکی بنویسید.

در اینجا هم وقتی شما $x\in B(a,r)$ می گیرید یا $x< a$ یا $x> a$ که در هر صورت بنابرچیزی که گفتیم می توانید $c$ بین $x< a$ یا $d$ بین $a< x$ بیابید.

دارای دیدگاه توسط fardina
@amirm20
من که قضیه تیلور رو نوشتم. اون چیزی که شما نوشتین اصلا برای من واضح نیست. یا حداقل مرجعی که اون مطلب رو دیدید بفرستید.
دارای دیدگاه توسط amirm20
@fardina
ویرایش کردم ببینید .
دارای دیدگاه توسط fardina
وقتی تابعی مشتق مرتبه دوم در یک نقطه دارد آن تابع در همسایگی ای از آن نقطه پیوسته است. چون در اینجا $n$ مرتبه مشتق پذیر است لذا مشتق های تا مرتبه $n-1$ در یک همسایگی موجود است و همچنین مشتقات تا مرتبه $n-2$ در یک همسایگی پیوسته خواهند بود. و همینها برای ما کافی هستند تا بتوانیم از قضیه هوپیتال به صورت متوالی استفاده کنیم و قضیه تیلور را اثبات کنیم. البته شما قضیه تیلور رو کامل ننوشتید. اون متن که عکسشو گذاشتید و دوباره مرجعی براش ذکر نکردید فقط تعریف چند جمله ای تیلور رو گفته، نه صورت قضیه رو.
اینجا رو ببینید برای اثباتی از صورت قضیه تیلور که مد نظر شماست:
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem#Proof_for_Taylor.27s_theorem_in_one_real_variable
دارای دیدگاه توسط amirm20
–1
@fardina
ویرایش کردم .
چرا گفتید اگه تابعی در یک نقطه مشتق پذیر باشه در همسایگی اون نقطه پیوسته است ؟
اما من این قضیه رو اینطوری دیدم که اگر در یک نقطه مشتق پذیر باشه در اون نقطه پیوسته است .
دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط admin
+1
@amirm20
من کی گفتم " اگه تابعی در یک نقطه مشتق پذیر باشه در همسایگی اون نقطه پیوسته است" !!!!
گفتم مشتق مرتبه دوم دارد و طبق فرض مشتق مرتبه اول هم پیوسته است.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...