چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
90 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi
ویرایش شده توسط fardina

فرض $X$مجموعه ای $n$عضوی باشد.تعداد زوجهای مرتب مانند$ \big(A,B\big) $ که در آن $A$ و $B$ زیر $X$ هستند و اشتراک $A$و $B$ فقط تک عضوی باشد را بدست آورید.

دارای دیدگاه توسط Taha1381
+1
$n*3^{n-1}$?
دارای دیدگاه توسط alineysi
ممنون.میشه اثباتش رو بفرمائید.ممنون
دارای دیدگاه توسط Taha1381
+1
ابتدا عضو مشترک رو انتخاب می کنیم $n-1$ عضو دیگر در سه حالت می توانند قرار گیرند.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

به روش‌های گوناگون می‌توانید شروع به شمارش کنید یکی مانند آنچه @Taha1381 در دیدگاهی در زیر پرسش قرار داده‌اند.

فرض کنید $X$ دارای $n$ عضو است. می‌خواهیم دو مجموعهٔ $A,B\subseteq X$ به گونه‌ای انتخاب کنیم که $|A\cap B|=1$. پس نخستین کاری که می‌کنیم عضو مشترک را انتخاب می‌کنیم و سپس فرض کنید $A$ دارای $i$ عضو به غیر از آن یک عضو است که $i$ می‌تواند از ۰ تا $n-1$ انتخاب شود. اکنون فرض کنید $B$ دارای $j$ عضو است که $j$ از ۰ تا $n-1-i$ می‌تواند انتخاب شود. پس تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است با $$\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i-1}\binom{n}{1}\binom{n-1}{i}\binom{n-i-1}{j}=\binom{n}{1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\sum_{j=0}^{n-i-1}\binom{n-i-1}{j}=n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}2^{n-i-1}=n3^{n-1}$$ به یاد آورید که بسط دوجمله‌ای خیام-نیوتن برابر بود با $$\sum_{i=0}^m\binom{i}{m}x^iy^{m-i}=(x+y)^m$$ اکنون اگر به جای $m$ بگذارید $n-1$ و به جای $x$ و $y$ بگذارید $1$ و $2$ آنگاه به محاسبهٔ مساوی آخر رابطهٔ بالا می‌رسید. برای مساوی پیش از آن نیز هر دوی $x$ و $y$ را $1$ بگذارید و $m$ را $n-i-1$ بگذارید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
1 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2202
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4489069
...