به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
99 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi
ویرایش شده توسط fardina

فرض $X$مجموعه ای $n$عضوی باشد.تعداد زوجهای مرتب مانند$ \big(A,B\big) $ که در آن $A$ و $B$ زیر $X$ هستند و اشتراک $A$و $B$ فقط تک عضوی باشد را بدست آورید.

دارای دیدگاه توسط Taha1381
+1
$n*3^{n-1}$?
دارای دیدگاه توسط alineysi
ممنون.میشه اثباتش رو بفرمائید.ممنون
دارای دیدگاه توسط Taha1381
+1
ابتدا عضو مشترک رو انتخاب می کنیم $n-1$ عضو دیگر در سه حالت می توانند قرار گیرند.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

به روش‌های گوناگون می‌توانید شروع به شمارش کنید یکی مانند آنچه @Taha1381 در دیدگاهی در زیر پرسش قرار داده‌اند.

فرض کنید $X$ دارای $n$ عضو است. می‌خواهیم دو مجموعهٔ $A,B\subseteq X$ به گونه‌ای انتخاب کنیم که $|A\cap B|=1$. پس نخستین کاری که می‌کنیم عضو مشترک را انتخاب می‌کنیم و سپس فرض کنید $A$ دارای $i$ عضو به غیر از آن یک عضو است که $i$ می‌تواند از ۰ تا $n-1$ انتخاب شود. اکنون فرض کنید $B$ دارای $j$ عضو است که $j$ از ۰ تا $n-1-i$ می‌تواند انتخاب شود. پس تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است با $$\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i-1}\binom{n}{1}\binom{n-1}{i}\binom{n-i-1}{j}=\binom{n}{1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\sum_{j=0}^{n-i-1}\binom{n-i-1}{j}=n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}2^{n-i-1}=n3^{n-1}$$ به یاد آورید که بسط دوجمله‌ای خیام-نیوتن برابر بود با $$\sum_{i=0}^m\binom{i}{m}x^iy^{m-i}=(x+y)^m$$ اکنون اگر به جای $m$ بگذارید $n-1$ و به جای $x$ و $y$ بگذارید $1$ و $2$ آنگاه به محاسبهٔ مساوی آخر رابطهٔ بالا می‌رسید. برای مساوی پیش از آن نیز هر دوی $x$ و $y$ را $1$ بگذارید و $m$ را $n-i-1$ بگذارید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...