چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
776 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

فرض کنید $ \bigtriangleup = \big\{a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{3}=b \big\} $ نشان دهید اگر

$ \forall x \in [ x_{0} , x_{1} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0 $

و $ \forall x \in [ x_{2} , x_{3} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0 $

آنگاه $ \forall x \in [ x_{1} , x_{2} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0 $ .

تلاش برای حل: تابع $f$ را بصورت$f=ax^3+bx^2+cx+d $ در نظر بگیریم و ضرایب را با توجه به شرایط اسپلاین بیابیم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

اگر تابع اولیه را برابر $f$ بگیریم باید $S$ را چنان بیابیم که در شرایط زیر صدق کند:

1) $ S( x_{i} )=f( x_{i} ) \ \ \ \ \ $

2) $ S_{i+1}( x_{i+1} )=S_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

3)$ S^{'} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{'}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

4)$ S^{''} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{''}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

اگردرونیاب را با $ S $ نمایش دهیم در هر زیر بازه ی $ [ x_{i} , x_{i+1} ] $ درونیاب برابر است با $ S_{i}( x)= a_{i} + b_{i} (x- x_{i} ) + c_{i} (x- x_{i} ) ^{2} +d_{i} (x- x_{i} ) ^{3} $ اولا یک چند جمله ای است و چون طبق فرض برای بازه های $ [ x_{0} , x_{1} ] $و$ [ x_{2} , x_{3} ] $ متحد با صفر است لذا باید ضرایب صفر باشند لذا داریم: $$a_{0}=b_{0} =c_{0} =d_{0}=0 \tag{*}\label{*} $$

$$a_{2}=b_{2} =c_{2} =d_{2}=0 \tag{**}\label{**}$$ حال نشان میدهیم که $$a_{1}=b_{1} =c_{1} =d_{1}=0 $$ اولا با جایگزاری داریم: $ S_{i}( x_{i} )= a_{i} $ و چون ضرایب صفر هستند لذا $ S_{0}( x_{1} )=0$ وطبق رابطه ی $ (2) $ داریم که $a_{1}= S_{1}( x_{1} )=S_{0}( x_{1} )=0 $ .

به کمک مشتق گیری داریم که $ = b_{i}+2c_{i}(x-x_{i})+3d_{i}(x-x_{i})^{2} $ $S^{'} _{i} (x) $

که با جایگذاری $ x_{i} $ داریم که $ = b_{i}$ $ S^{'} _{i} (x) $

حال با استفاده از رابطه ی $ (3) $ بدست می آید که $ b_{i+1}= b_{i} +2c_{i}(x_{i+1}-x_{i})+3d_{i}(x_{i+1}-x_{i})^{2}$ لذا با جایگذاری $i=0 $ و توجه به رابطه ی$ \eqref{*}$ بدست می آید که $b_{1} =0 $

با اجرای روند بالا و دو بار مشتق گیری برای $ c_{i} $ ها رابطه ی $ c_{i+1}= c_{i} +3 d_{i}(x_{i+1}-x_{i})$ که توجه به رابطه ی$\eqref{*} $ بدست می آید که $c_{1} =0 $

و رابطه ی زیر همواره برای $ d_{i} $ ها برقرار است که به کمک آن حکم آخر هم ثابت می شود. $$d_{i}= \frac{c_{i+1}- c_{i}}{3 (x_{i+1}-x_{i})} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3289
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712430
...