به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
809 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

فرض کنید $ \bigtriangleup = \big\{a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{3}=b \big\} $ نشان دهید اگر

$ \forall x \in [ x_{0} , x_{1} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0 $

و $ \forall x \in [ x_{2} , x_{3} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0 $

آنگاه $ \forall x \in [ x_{1} , x_{2} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0 $ .

تلاش برای حل: تابع $f$ را بصورت$f=ax^3+bx^2+cx+d $ در نظر بگیریم و ضرایب را با توجه به شرایط اسپلاین بیابیم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

اگر تابع اولیه را برابر $f$ بگیریم باید $S$ را چنان بیابیم که در شرایط زیر صدق کند:

1) $ S( x_{i} )=f( x_{i} ) \ \ \ \ \ $

2) $ S_{i+1}( x_{i+1} )=S_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

3)$ S^{'} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{'}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

4)$ S^{''} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{''}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

اگردرونیاب را با $ S $ نمایش دهیم در هر زیر بازه ی $ [ x_{i} , x_{i+1} ] $ درونیاب برابر است با $ S_{i}( x)= a_{i} + b_{i} (x- x_{i} ) + c_{i} (x- x_{i} ) ^{2} +d_{i} (x- x_{i} ) ^{3} $ اولا یک چند جمله ای است و چون طبق فرض برای بازه های $ [ x_{0} , x_{1} ] $و$ [ x_{2} , x_{3} ] $ متحد با صفر است لذا باید ضرایب صفر باشند لذا داریم: $$a_{0}=b_{0} =c_{0} =d_{0}=0 \tag{*}\label{*} $$

$$a_{2}=b_{2} =c_{2} =d_{2}=0 \tag{**}\label{**}$$ حال نشان میدهیم که $$a_{1}=b_{1} =c_{1} =d_{1}=0 $$ اولا با جایگزاری داریم: $ S_{i}( x_{i} )= a_{i} $ و چون ضرایب صفر هستند لذا $ S_{0}( x_{1} )=0$ وطبق رابطه ی $ (2) $ داریم که $a_{1}= S_{1}( x_{1} )=S_{0}( x_{1} )=0 $ .

به کمک مشتق گیری داریم که $ = b_{i}+2c_{i}(x-x_{i})+3d_{i}(x-x_{i})^{2} $ $S^{'} _{i} (x) $

که با جایگذاری $ x_{i} $ داریم که $ = b_{i}$ $ S^{'} _{i} (x) $

حال با استفاده از رابطه ی $ (3) $ بدست می آید که $ b_{i+1}= b_{i} +2c_{i}(x_{i+1}-x_{i})+3d_{i}(x_{i+1}-x_{i})^{2}$ لذا با جایگذاری $i=0 $ و توجه به رابطه ی$ \eqref{*}$ بدست می آید که $b_{1} =0 $

با اجرای روند بالا و دو بار مشتق گیری برای $ c_{i} $ ها رابطه ی $ c_{i+1}= c_{i} +3 d_{i}(x_{i+1}-x_{i})$ که توجه به رابطه ی$\eqref{*} $ بدست می آید که $c_{1} =0 $

و رابطه ی زیر همواره برای $ d_{i} $ ها برقرار است که به کمک آن حکم آخر هم ثابت می شود. $$d_{i}= \frac{c_{i+1}- c_{i}}{3 (x_{i+1}-x_{i})} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
44 نفر آنلاین
0 عضو و 44 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2186
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007838
...