به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
1,620 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Mohii
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

با سلام خدمت دوستان

ما میدونیم که هر عدد منفی به توان گویا تعریف نشده است، چون خوش تعریف نیست.

حالا سوالی که پیش میاد اینه که اعداد منفی به توان های صحیح هم خوش تعریف نیستند . مثلا برای $(-1)^3$ میدونیم اگر جای توان $3$ قرار دهیم $\frac{12}{4}$ مقدار مثبت به ما میدهد . علاوه بر آن هر عدد صحیح خودش هم گویاست .پس چرا $(-1)^3$ تعریف می شود؟

دارای دیدگاه توسط saderi7
+1
دارای دیدگاه توسط Mohii
ویرایش شده توسط Mohii
–1
saderi7@  خب من میخام بدونم در کتاب سال دوم دبیرستان که اعداد منفی به توان گویا میرسند رو تعریف نشده گفته که کاملا هم درست است و علتش رو هم همه ما میدونیم چون اصل خوش تعریفی زیر سوال میره . ولی چرا اعدا منفی به توان صحیح  مثلا (1-) به توان 3 رو تعریف نشده ذکر نکرده . چون این هم خوش تعریف نیست و در توابع نمایی اعداد منفی رو به همین دلیل در نظر نمیگیرن . حال ممکنه شما بگید که علت تعریف نشدن اعداد منفی به توان گویا اینه که خاصیت ضرب توان ها در ان صدق نمیکند و ربطی به تابع بودن نداره  در این صورت در توابع نمایی هم باید اعداد منفی به توان های صحیح تعریف بشن .
دارای دیدگاه توسط saderi7
+1
@ Mohii
لینکی که گذاشتم رو نگاه انداختید ؟!!!!!
شاید در اون کتاب اعداد گویا رو تعریف نکرده ولی لزوما این نیست که نمیتوان تعریف کرد !!!
تو اون لینک اعداد منفی به توان گویا تعریف شده و گفته شده قوانین توان در چه موقع قابل قبول هستند . همین منفی یک  به توان $\dfrac{12}{4}$ یا به توان سه . هر جفتشون یکی هستند و تعریف شده هستند . اما منفی یک  به توان $\dfrac{12}{4}$  رو مجاز نیستیم باز کنیم و از قوانین ضرب توان ها استفاده کنیم . به لینک مراجعه کنید جوابتونو میگیرید .
دارای دیدگاه توسط Mohii
–1
saderi@ بله خوندم . شما دقیقا همون دلیل دوم رو اوردید که فرمودید هردو تعریف میشن اما چون قانون ضرب توان ها رو نمیشه اعمال کرد مجاز نیستیم . منم دقیقا همین رو میگم . ولی چرا پس در توابع نمایی کلا اعداد منفی رو در نظر نمیگیره چون خوش تعریف نمیشه . که دقیقا یه پارادوکس میشه اگر قراره قوانین توان اجرا بشه پس برای اعداد منفی به توان های صحیح هیچ مشکلی به وجود نخواهد امد
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
–1
منظور از توان گویا ، توان گویای نا صحیح است

3 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

جملهٔ توان گویای اعداد منفی تعریف نمی‌شود درست نیست. جمله‌ای که منطقا درست باشد این است که «هر توان گویایی از اعداد منفی الزاما عددی حقیقی نمی‌شود» و برای فردی که حقیقی نشدن را تعریف نشدن می‌داند (!) می‌توان گفت برخی توان‌های گویای اعداد حقیقی تعریف نمی‌شوند. اگر وارد اعداد مختلط بشوید که اعداد حقیقی را نیز دربردارند توان گویای هر عدد حقیقی‌ای تعریف می‌شود چون پاسخ‌های $a^{\frac{m}{n}}$ ریشه‌های چندجمله‌ایِ تک‌متغیرهٔ $x^n-a^m$ هستند و اعداد مختلط میدانی بستهٔ جبری است. اکنون ریشه‌های چهارم عدد منهای یک را درنظر بگیرید $\pm(\frac{\sqrt{2}}{2}\pm i\frac{\sqrt{2}}{2})$. هر چهارتای این اعداد به توان ۱۲ برابر با $-۱$ می‌شوند و هیچ تناقضی وجود ندارد. حقیقی نبودن یک عدد باعث نمی‌شود که توانی از آن نیز حقیقی نشود پس اینکه $(-1)^{\frac{1}{4}}$ در مجموعهٔ اعداد حقیقی وجود ندارد دلیلی نمی‌شود که این چیزی که در اعداد حقیقی نبود به توان دوازدهِ آن نتواند داخل اعداد حقیقی سر و کله‌اش پیدا شود. و این چیز عجیبی نیست که تازه دیده باشید. زمانی را به یاد آورید که هنوز مفهوم اعداد حقیقی را نمی‌دانستید ولی اعداد گویا و ضرب را می‌دانستید (ضرب را می‌دانستید پس توان را نیز می‌فهمید) اکنون هیچ چیزی که به توان ۲ برسد برابر با ۲ شود در مجموعهٔ اعداد گویا وجود نداشت پس اگر دنیایتان به اعداد گویا محدود باشد برای شما جذر ۲، بی‌معنا یا همان به قول خودتان تعریف‌نشده تلقی می‌شد. اما همین چیزی که الآن برایتان وجود ندارد و بعدها برایتان در اعداد حقیقی پیدا می‌شود یعنی $\sqrt{2}$ به توان دویِ آن در اعداد گویا می‌افتد.

نتیجه‌گیری آخر این است که تناقضی از اول وجود نداشته‌است بلکه آن جملهٔ «ما می‌دانیم ...»ای که در شروع متن پرسش‌تان نوشته‌اید نادرست است و درستِ آن این است که «هر توان گویایی از اعداد منفی در مجموعهٔ اعداد حقیقی الزاما وجود ندارد (به قول شما تعریف نمی‌شود)».

دارای دیدگاه توسط Mohsenn
–1
بله شما درست میفرمایید اگر قرار باشه تو اعداد مختلط برسی کنیم که راحت ریشه هاش از طریق    re^iϴ  میتوان بدست اورد اما یه بچه دبیرستانی درمورد اعدا مختلط چیزی نمیدونه و با توجه به تعریفاتی که درکتاب هست موضوعات رو باید براش تفهیم کرد .
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Mohsenn نیازی نیست همه چیز را در یک دوره به دانش‌آموز گفت. اینکه به دانش‌آموزتان بگوئيد «تعریف نمی‌شود» مانند گفتن «دروغ بگویی دماغت درازتر می‌شود» به فرزندتان می‌باشد. و اگر در کتاب تحصیلی بدون گفتن قیدِ «در اعداد حقیقی» بنویسد «تعریف نمی‌شود» مانند انتشار مطلب اشتباه به صورت رسمی می‌باشد که باید به مؤلفین کتاب تذکر داده‌شود. اینکه به بهانهٔ اینکه نمی‌خواهید اعداد مختلط را در مقطع دبیرستان بیاورید، گزاره‌ای با ارزش منطقی نادرست به خورد دانش‌آموز بدهید کاری است که هیچ ریاضی‌دانی انجام نمی‌دهد. اگر انجام شد نتیجه می‌دهد که از کم‌کاری و بی‌حوصلگی است. خیلی راحت مؤلف یا آموزگار می‌تواند به جای استفاده از یک جمله از چند جمله استفاده کند و بگوید «جذر ۲ را به یاد می‌آوید که با اینکه ۲ در اعداد گویا بود ولی جذرش گویا نمی‌بود و سپس در اعداد حقیقی آن را دیدیم؟ یا یک تقسیم بر دو را به یاد دارید که با اینکه یک و دو صحیح بودند ولی در اعداد صحیح وجود نداشت و سپس در اعداد گویا دیدیم؟ اکنون جذر و ریشه‌های زوج اعداد منفی نیز در اعداد حقیقی وجود ندارند ولی اگر ریاضی را ادامه دادید پاسخ آن را می‌بینید. اکنون حواستان باشد که وقتی توان گویایی از یک عدد منفی می‌بینید، حاصلش الزاما در اعداد حقیقی قرار نمی‌گیرد! اگر آن را ساده کردید و به چیزی مانند یک‌سوم یا چهار و غیره رسیدید که پاسخش را می‌توانید در اعداد حقیقی بیابید، انجام دهید وگر نه اگر به یک‌چهارم یا سه‌دوم رسیدید، حاصلش عددی حقیقی نیست و برای ما که فعلا در اعداد حقیقی فکر می‌کنیم، تعریف نشده‌است». آیا جایی از این چیزهایی که داخل گیومه نوشته‌ام نیاز به معلومات دانشگاهی دارد؟ و یا دانش‌آموزی است که ادعا کرده‌باشد این جملات برایش غیرقابل درک است؟
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
–1
به قول من نه ،به قول کتاب .
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

وقتی $a=0$ و $x>0$ تعریف می‌کنیم $ a^{x}=0 $ اما وقتی که $a=x=0$ عبارت $a^{x}$ تعریف نشده در نظر میگیریم دلیلش در حساب دیفرانسیل و انتگرال مشخص میشه اما برای دانش آموزان میشه این طور استدلال کرد که چون برای هر عدد مثبت $x$ داریم $ 0^{x}=0 $ اما $ x^{0}=1 $ پس اگه $ 0^{0} $ تعریف شده باشه به تناقض می‌رسیم. وقتی $a>0$ که احتمالا در تعریف توان‌ها نباید مشکلی داشته باشین. بنابراین حالت $a< 0$ رو در نظر می‌گیریم. در این حالت تنها در بعضی از اوقات $ a^{x} $ رو می‌تونیم تعریف کنیم. اگه $x$ یک عدد صحیح باشه $ a^{x} $ همیشه یک عدد حقیقیه. وقتی $x$ یک عدد گویاست حقیقی بودن $ a^{x} $ بستگی به مخرج $x$ داره. به طور خاص اگه $x= \frac{p}{q} $ که $p,q$ عامل مشترکی ندارند تعریف می‌کنیم $ a^{ \frac{p}{q} } =\begin{cases} \sqrt[q]{ a^{p} }= ( \sqrt[q]{a})^{p} & if (q) is odd\\undefined & if (q) is even \end{cases} $

به عنوان مثال $ (-8)^{ \frac{2}{3} } = ( \sqrt[3]{-8} )^{2}= (-2)^{2} =4 $ اما $ (-8)^{ \frac{3}{2} } $ به عنوان یک عدد حقیقی تعریف نمیشه چرا که باید از یک عدد منفی ریشه دوم گرفته بشه که میدونیم این کار شدنی نیست. بنابراین توانی که به صورت کسر باشد نباید عامل مشترک داشته باشد پس $ \frac{12}{4} $ رو باید $3$ در نظر بگیرید.

دارای دیدگاه توسط Mohsenn
نظرتون کاملا درسته و منطقی.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

به نظر میرسه اگر همواره به تعریف ها رجوع کنیم به مشکلی برنخواهیم خورد. در ادامه من در اعداد حقیقی بحث خواهم کرد. چون بحث در اعداد مختلط واضح است.

می دانیم که توان صحیح هموارده قابل تعریف است. به عنوان مثال منظور از $(-1)^3$ همان $(-1)\times (-1)\times (-1)$ خواهد بود.

اما توان گویای غیر صحیح به صورت $a^{\frac mn}$ فقط برای اعداد مثبت به صورت $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ قابل تعریف است.

در این حالت شما باید توجه کنید که این تعریف برای اعداد گویای غیر صحیح است نه برای اعداد گویا به طور کلی. لذا شما حق ندارید که توان $\frac{12}4$ را با استفاده از تعریف فوق تعریف کنید. بلکه $\frac{12}4$ یک عدد صحیح بوده و باید با آن مثل توان $3$ رفتار شود.

شما گفتید "خود $3$ هم گویاست"! و این همان تفکر اشتیاه است. چرا که ما گفتیم برای پایه منفی ، توان گویای غیرصحیح تعریف نمی شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
49 نفر آنلاین
0 عضو و 49 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4392
بازدید دیروز: 4974
بازدید کل: 4852847
...