به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
1,007 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

با سلام میشه راجع به چگونگی حل این مسئله بنده را راهنمایی بفرمائید.

$ X^{ \ast } $ را فضای دوگان $ X $ می نامیم .

دوگان $ (R^{n})^{ \ast } $ را پیدا کنید.

برای حل این مسئله با توجه به آنچه در کارشناسی خوندیم باید جواب برابر با : $ (R^{n})^{ *} = R^{n} $ باشه

حال چگونه ثابت کنیم $ (R^{n})^{ *} = R^{n} $ است . ؟

تلاش خودم برای حل اینه که و برای حل آن اول باید نشان دهیم $ R ^ { \ast }=R $

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

کافیست تابعی دوسویی بین این دو فضا تعریف کنیم. ابتدا توجه میکنیم که هر عضو از $ R^{n} $ بصورت $( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} ) = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n} $ است. لذا برای هر عضو از $(R^{n})^{ *} $ داریم $$f(( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} )) =f( x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n})= x_{1} f( e_{1} )+ x_{2} f(e_{2} )+...+ x_{n} f(e_{n} ) $$ و این یعنی این عضو با معلوم بودن $ f(e_{i} )$ ها معلوم می شود و لذا هر عضو مانند $f $ متناظر با $( a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} ) $ است که در آن داریم $ a_{i}=f(e_{i} ) $

تعریف میکنیم $ \varphi : (R^{n})^{ *} \rightarrow R^{n} $ که $f \mapsto ( a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} ) $ که در آن داریم $ a_{i}=f(e_{i} ) $ آنگاه به راحتی ثابت می شود که یک تابع دوسویی داریم.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...