به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
246 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط Mohsenn

سلام مقدار عدد عبارات زیر رو چطوری بدست بیاوریم . تعریف دقیق میگه : اگر a بزرگتر از صفر و m وn دو عدد طبیعی با شند که $ \frac{n}{m} $ کسر ناصحیح باشند ما اجازه داریم $ \sqrt[m]{ a^{n} } $ بنویسیم . یعنی اگر صحیح شود حق نوشتن نداریم و اگر پایه هم منفی باشد حق نوشتن ندارم . حال چگونه مقدار $ x^{ \frac{2}{2} } $ یا مقدار $( -1)^{ \frac{12}{4} } $ رو بدست بیاوریم . دو حالت به وجود می آید یا باید ساده کنیم یا باید بازش کنیم . کدوم رو انتخاب کنیم .؟؟؟؟ (سوال برای دوره دبیرستان است و هنوز با توابع مختلط آشنا نیستند)

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
می‌توانید برای این اصطلاحِ «تعریف دقیق» منبع معتبر بیاورید؟ برای من عجیب است همچین چیزی را یک ریاضیدان گفته‌باشد، مگر اینکه فرضی چیزی کم نوشته باشید مثلا تابع شدن در حالت تحدید به اعداد حقیقی و مثبت برداشتن ریشهٔ فرجهٔ زوج و ... و یا چیز دیگری.
بعلاوه به پرسش دیگرتان و دیدگاه آخر توجه کنید. فکر نکنم این پرسش چیز جدیدی داشته‌باشد.
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
حقیقتا برای خود منم خیلی جای سوال هست که چرا چنین تعریفاتی رو برای سال دهم   آوردن .  ... منبعش کتاب سال دوم دبیرستان یا همون دهم  ریاضی . قسمت توان های گویا  به صورت نکته درون مستطیل قرار داده . نه من فرضی اونجا ندیدم  اگر دیده بودم مطمئنا انقدر سوال برام پیش نمیومد .
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Mohsenn کتاب را نگاه خواهم انداخت و با دوستان دبیرم در ایران صحبت خواهم‌کرد. نتیجه را اطلاع خواهم‌داد. آقای @erfanm نیز شاید در جریان موضوع باشند می‌توانید با ایشان صحبت کنید.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Mohsenn آیا توجه کرده‌اید که کجا و به چه دلیل آقای @erfanm این جمله را گفته‌اند؟
و به نظر خودتان کسی پرسشی شبیه به اینکه «آیا یک نا-الف، الف است؟» در تمرین یا آزمونی مطرح می‌کند؟ مطمئنا مکانی که پرسیده شده‌است «آیا $|x|$ یک چندجمله‌ای است؟» آن هم در مدرسه، منظور تابع چندجمله‌ای بوده‌است.
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط Mohsenn
–1
نه  به نظر منظور تابع چند جمله ای نبوده چون هنوز بچه ها با مفهوم تابع آشنا نیستند و  ور در تقسیم چند جمله ای ها دامنه ای برای مقسوم علیه پیدا نمیکنند.(الته آقای عرفان خودشان یه معلم فوق العاده باهوش هستند و مطمئنا دلیلی داشتن )
این کار درستی نیست که بعضی جاها چند جمله ای رو تابع چند جمله ای در نظر بگیری ، و اگر هم قصد چنین کاری رو دارید باید حتما لفظ تابع چند جمله ای ذکر بشه تا اشتباه رخ نده.

3 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

به صورت طبیعی توان صحیح برای اعداد تعریف شده و وقتی بخواهیم توان کسری را تعریف کنیم باید طوری تعریف بشه که با حالت صحیح همخوانی داشته باشه

توانها ی کسری را به کمک ریشه n ام تعریف کرده اند و منظور از$ a^{ \frac{m}{n} } $ ریشه ی n ام عدد$ a^{m} $ است.

با توجه به اینکه در حالت کلی یعنی اعداد مختلط n تا ریشه n ام داریم و برای همخوانی با توانها ی صحیح اعداد حقیقی که پایه تعریف توان بود ( منظور حالت‌هایی مثل $ ۲= \frac{۶}{۳} =... $ است.) برای اعداد مثبت جواب اصلی را جواب حقیقی مثبت در نظر میگیریم. بعنوان مثال

$$a^3 = a^{ \frac{3}{1} } = a^{ \frac{6}{2} } =....= \sqrt[k]{a^{3k}} $$

اما برای اعداد منفی(پایه منفی) مشکلات زیادی وجود دارد. اگر تعریف به کمک ریشه n ام را در حالت عادی برای اعداد حقیقی در نظر بگیریم عباراتی که صورت کسر عددی زوج باشد جواب حقیقی دارند اما جوابهایی که صورت فرد باشد و مخرج زوج باشد جواب حقیقی ندارد بطور مثال $ -۲^{ \frac{۱}{۲} } $ ریشه حقیقی ندارد اما اگر به جای $ \frac{۱}{۲} $ مقدار برابر آن یعنی $ \frac{۲}{۴} $ را قرار دهیم جواب حقیقی خواهیم داشت.

پس برای همخوانی با حالت توان صحیح ، در بحث اعداد حقیقی ابتدا توانهای کسری را ساده می کنیم و اگر صحیح باشند آنها را بدست می آوریم وگرنه آن را تعریف نشده میگیریم.

اما در حالت کلی وقتی دامنه بحث اعداد مختلط است برای هر عبارت تعریف داریم ولی دیگر $ a^{ \frac{m}{n} } $ با $ a^{ \frac{km}{kn} } $ برابر نیست.

چون اولی ریشه n ام $a^m$ و دومی ریشه kn ام $ a^{km} $ است.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
@Mohsenn شما هنوز در توان مانده‌اید؟ قصدتان دانستن است یا اینکه بشنوید دیگران بگویند درست می‌گوئید؟ $\sqrt{2}$ در $x^4-(-2)^2=0$ صدق نمی‌کند؟ مطمئن هستید که متن‌ها را با دقت می‌خوانید؟ این جملهٔ آقای @erfanm دنبالهٔ پاراگرافی است که از «اما برای اعداد منفی ...» شروع می‌شود. نوشته‌اند «اگر تعریف به کمک ریشهٔ $n$اُم ...» آنگاه «...»!
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط Mohsenn
–1
هدف تبادل اطلاعات و یاد گرفتن چیزهای جدیده .  سوالات دیگه ای هم خواهم پرسید که در مورد مباحثه انالیزه. و اما معادله ای که شما نوشتید برای رادیکال دو صدق میکنه و در این شکی هم نیست و هگمی قبول داریم . اما یه نکته هست  که مثل اینکه شما هم توجه نکردید و اون اینه که ما طبق قوانین توان که آقای سادری هم تاکید دارن اجازه چنین کاری رو نداریم :
<math>$ (-2^{2} )^{ \frac{1}{4} }   $</math>        
و شما معادله رو برای این حالت نوشتی . (هدف پیدا کردن همین ایرادات ریزه )
و  این دقیقا روش اثبات اشتباهی هست که در توابع نمایی در مورد اینکه چرا پایه های منفی رو در نظر نمیگیرن به کار میره ، که این رو هم آقای سادری  راه درستش رو کاملا جواب داده. http://math.irancircle.com/blog/130   و این هم لینکش.
و اما اینکه من قسمت آخر دیدگاه شما درباره فریدنیا متوجه نشدم . اگر منظور شما دامنه ایکس به توان دو دوم هست که من بازهم میگم دامنش تمام اعداد حقیقیه .
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
@Mohsen شما درس مبانی ریاضی را گذرانده‌اید؟ زمانی‌که نوشته‌اند اگر ... آنگاه ... . درستی گزاره کاری به اینکه شما فرض گزارهٔ شرطی را دوست دارید یا خیر ندارد! هیچ ایراد ریزی من در پاسخ آقای @erfanm نمی‌بینم. امیدوارم تبادل دانش و یاد گیری را با جر و بحث خِلط  نکنید.

شما کماکان در حال تکرار و پافشاری بر اشتباهی هستید که در سیلی از دیدگاه‌ها برایتان توضیح دادم. شما زمانی‌که از یک دانش‌آموز ابتدایی می‌پرسید آیا ۲ جذر دارد؟ پاسخ خیر است و هیچ تناقضی با زمانی که از یک دانش‌آموز راهنمایی می‌پرسید آیا ۲ جذر دارد می‌گوید بلی ندارد! در موقعیت نخست شما از جذر منظورتان جذر صحیح است (و به هیچ وجه نیاز به تأکید و درشت کردن و اضافه‌گویی در جملهٔ پرسش برای دادن فرضی که هم‌اکنون توسط شنونده فرض شده‌است نیست) و در موقعیت دوم جذر حقیقی است (اکنون که مفهوم‌ها بیشتر شده‌اند، می‌ارزد که برای مشخص‌تر بودن از دانش‌آموز دبیرستان به جای گفتن ۲ جذر دارد بپرسید آیا ۲ مربع کامل است؟). وقتی آقای @saderi7 قوانینی را ذکر می‌کردند، محیط اعمال قوانین را نیز اشاره‌داشته‌اند. من نمی‌دانم چرا زیر هر پستی که علامت رادیکال در آن ظاهر شده‌است دیدگاه می‌گذارید. این کار با پست کردن یک پرسش تکراری تفاوتی ندارد!
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
–1
بله درست میگید من به ابتدای متن توجه نکردم." تعریف به کمک ریشه..."
من پست اقای فریدنا رو خوندم متوجه منظور شما نشدم.
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

در ابتدا شما را به این پاسخ ارجاع می دهم.

همانطور که در آنچا اشاره شده چنانچه $\frac mn$ عددی گویای غیرصحیح باشد در اینصورت توان کسری $a^{\frac mn}$ به صورت $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ تعریف می شود.

پس در مثال هایی که در اینجا زدید $x^{\frac 22}=x^1=x$ و $(-1)^{\frac {12}4}=(-1)^3=-1$ چرا که $\frac 22=1$ و $\frac {12}4=3$ غیر صحیح نیستند.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط Mohsenn

اینطور که من متوجه شدم این کا رو به دلیل این انجام دادن که مشکلاتی که قبلا برای پیدا کردن دامنه بود رفع شود مثلا $ x^{ \frac{2}{2} } $ رو میتوان به دو حالت نوشت : $ \sqrt[2]{ x^{2} } $ و $( \sqrt[2]{x} )^{2} $ که درای دو دامنه متفاوت هستند بنابراین این تعریف این مشکل رو حل میکنه . و موضوع دوم اینکه چرا اعداد منفی به توان های گویا رو تعریف نشده فرض کردن در همین سایت طبق توضیحات آقای سادری کاملا توضیح داده شده

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
67 نفر آنلاین
2 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3872
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5021764
...