به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
97 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط komarsolimani
ویرایش شده توسط fardina

اثبات که در کتاب اصول انالیز ریاضی رودین بعنوان مثال آورده شده

$$\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا از این به بعد سوالاتتون رو تایپ کنید. میتونید راهنمای تایپ رو بخونید. همینطور تلاشتون برای حل رو بنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $\limsup (-a_n)=\infty$ در اینصورت $(-a_n)$ از بالا کراندار نیست و لذا $a_n$ از پایین کراندار نیست که این هم ایجاب می کند $\liminf a_n=-\infty$ بنابراین $\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$.

به طور مشابه اگر $\limsup(-a_n)=-\infty$ می توانید برابری را ثابت کنید.

فرض کنیم دنباله کراندار باشد. در اینصورت می توانید ثابت کنید

$\alpha=\limsup a_n$ اگر و تنها اگر

  1. به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha-\epsilon< a_n$
  2. به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha+\epsilon< a_n$

و به طور مشابه

$\beta=\liminf a_n$ اگر و تنها اگر

  1. به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta+\epsilon$
  2. به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta-\epsilon$

حال چنانچه قرار دهید $\alpha=\limsup (-a_n)$ در اینصورت بازای هر $\epsilon$

  1. بی نهایت اندیس هست که $(-a_n)>\alpha-\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha+\epsilon$

  2. تعداد متنهای اندیس هست که $-a_n> \alpha+\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha-\epsilon$

بنابر یادآوری فوق این یعنی $\liminf a_n=-\alpha$ و حکم ثابت است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...