چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
89 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط komarsolimani
ویرایش شده توسط fardina

اثبات که در کتاب اصول انالیز ریاضی رودین بعنوان مثال آورده شده

$$\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا از این به بعد سوالاتتون رو تایپ کنید. میتونید راهنمای تایپ رو بخونید. همینطور تلاشتون برای حل رو بنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $\limsup (-a_n)=\infty$ در اینصورت $(-a_n)$ از بالا کراندار نیست و لذا $a_n$ از پایین کراندار نیست که این هم ایجاب می کند $\liminf a_n=-\infty$ بنابراین $\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$.

به طور مشابه اگر $\limsup(-a_n)=-\infty$ می توانید برابری را ثابت کنید.

فرض کنیم دنباله کراندار باشد. در اینصورت می توانید ثابت کنید

$\alpha=\limsup a_n$ اگر و تنها اگر

  1. به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha-\epsilon< a_n$
  2. به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha+\epsilon< a_n$

و به طور مشابه

$\beta=\liminf a_n$ اگر و تنها اگر

  1. به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta+\epsilon$
  2. به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta-\epsilon$

حال چنانچه قرار دهید $\alpha=\limsup (-a_n)$ در اینصورت بازای هر $\epsilon$

  1. بی نهایت اندیس هست که $(-a_n)>\alpha-\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha+\epsilon$

  2. تعداد متنهای اندیس هست که $-a_n> \alpha+\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha-\epsilon$

بنابر یادآوری فوق این یعنی $\liminf a_n=-\alpha$ و حکم ثابت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
74 نفر آنلاین
1 عضو و 73 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2081
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4488948
...