به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
227 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

چند مجموعه سه عضوی مانند$ \lbrace b,c,a\rbrace $ وجود دارد که سه عددaوbوc اعداد صحیح مثبت باشند و حاصلضرب آنها برابر 2310شود؟

دارای دیدگاه توسط alineysi
ویرایش شده توسط erfanm
+1
باسلام.
من ابتدا عدد ۲۳۱۰ را به شمارنده های اول تجزیه کردم که دارای ۵ شمارنده اول می باشد.سپس با استفاده از شمارنده های اول تعداد اعدادی سه تا بی که حاصلضرب آنها ۲۳۱۰ شود رو حساب کردم که ۴۰ شد.
میخوام ببینم راه حل کوتاهتری برای جواب به این سوال هست.ممنون

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط alineysi
 
بهترین پاسخ

$$۲۳۱۰=۲×۳×۵×۷×۱۱$$ اکنون شما سه عدد می‌خواهید که حاصلضربشان ۲۳۱۰ شود (نه سه تا از این ۵ عدد که ضربشان ۲۳۱۰ شده‌است!). پس باید این پنج عامل را در سه گروه قرار دهید و سپس اعضای هر گروه را در هم ضرب کنید. حاصل سه عدد است که ضرب این سه عدد برابر با ضرب هر پنج عامل می‌شود. توجه کنید که هیچ عامل تکراری‌ای نداریم. انتخاب ۳ زیرمجموعهٔ ناتهی از این ۵ عضو به دو شکل می‌تواند صورت بگیرد یا به شکل زیرمجموعه‌های ۳، ۱ و ۱ عضوی یا ۲، ۲ و ۱ عضوی. حالت یکم به $\frac{\binom{5}{3}\times\binom{2}{1}\times\binom{1}{1}}{2}$ حالت و حالت دوم به $\frac{\binom{5}{2}\times\binom{3}{2}\times\binom{1}{1}}{2}$ حالت امکان‌پذیر است. پس در کل به ۱۰+۱۵=۲۵ حالت امکان‌پذیر است.

اگر عدد ۱ را نیز بخواهید در نظر بگیرید. آنگاه دو زیرمجموعه از این ۵ عدد نیاز دارید. دو حالت دارید. ۴ و ۱ عضوی یا ۳ و ۲ عضوی. به ترتیب $\binom{5}{4}=5$ و $\binom{5}{3}=10$ حالت. پس $25+(10+5)=40$ حالت.


اکنون توضیح آن یک خط آمده در کتاب‌تان:

اینگونه محاسبه کرده‌است که ۳ تا یک می‌گذارید سپس به آن ۵ تا شمارنده، هر یک حق انتخاب رفتن و ضرب شدن در یکی از آن سه یک می‌دهید. پس پنج به توان سه حالت. اینکه یکی از آنها یک شود اشکالی ندارد ولی اینکه دو تا یک داشته‌باشید چون در مجموعه تکرار صورت نمی‌گیرد نمی‌شود (توجه کنید که چون شمارنده‌ها اعداد اول متمایز هستند غیر از این حالت، حالت تکرار دیگری بوجود نمی‌آید). پس باید حالت وجود دو تا یک یعنی اینکه هر پنج تا شمارنده با هم به یکمی یا دومی یا سومی بروند را کم کنید پس تا اینجا به $3^5-3$ رسیدیم. اما چرا تقسیم بر ۶؟ چون جایگشت بین اعضای سه‌تایی‌هایی که می‌یابید در هدف پرسش بی‌اثر است ولی در عین حال هر عضوی که بدست می‌آورید با جایگشت دادنشان به عنوان یک حالت دیگر ظاهر شده است! پس برای خلاصی از شر این جایگشت‌های تکراری ظاهرشده باید تقسیم بر $3!$ کنید.

دارای دیدگاه توسط alineysi
+1
باسلام.ممنون بخاطر پاسخگویی.
در این ۲۵ حالت شما عدد ۱ را هم در تظر گرفتید؟ مثلا۳۰×۷۷×۱=۲۳۱۰؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
@alineysi خیر عدد یک را در نظر نگرفته‌بودم.
دارای دیدگاه توسط alineysi
+1
ممنون.میشه بگید چرا در حل تقسیم بر۲ رو انجام دادید.بازم ممنون
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@alineysi برای نمونه حالت ۲، ۲، ۱ را در نظر بگیرید. $\{2,3\},\{5,7\},\{11\}$ و $\{5,7\},\{2,3\},\{11\}$ هر دو اینگونه تولید شده‌اند که اول دو تا از پنج عدد را برداشته‌ایم. سپس از ۳ عدد باقیمانده ۲ عدد انتخاب کرده‌اید و عدد باقیمانده را تنها برداشته‌ایم. به $\binom{5}{2}\times\binom{3}{2}\times\binom{1}{1}$ روش این کار ممکن است. اما هر دو به ما یک مجموعهٔ یکسان یعنی $\{6,35,11\}$ را داده‌اند! پس نیاز به تقسیم بر دو داریم. در واقع هر سه‌تایی که با ساختارِ ۲، ۲، ۱ می‌سازید با جابجا کردن نوبت انتخاب ۲ تایی یکم و ۲ تایی دوم، یک انتخابِ ۲، ۲، ۱ -ِ متمایز ولی از دید کاربرد خواسته‌شده یکسان دارید.
دارای دیدگاه توسط alineysi
+1
سپاس از شما استادبزرگوار
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط alineysi

راه حل تستی در کتاب به این شکل نوشته شده $ \frac{ ۳^{۵} -۳}{۶} $که همان ۴۰ میشه.ولی متوجه روش بدست اوردن آن نشدم.

دارای دیدگاه توسط alineysi
بسیار عالی.سپاس بیکران
دارای دیدگاه توسط alineysi
باسلام خدمت شما.طبعا جواب و توضیح شما رو پسندیدم.
درکتاب فقط فرمول یاد شده ذکرشده بود که با توضیح کامل شما به روش حل پی بردم.
اگر کوتاهی در این مورد شده باشه به حساب عدم آشنایی کامل من با قوانین و رایانه بذارید.بازم از شما استادبزرگوارممنونم
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6132
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5024023
...