چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
218 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $ f $ نامنفی ولبگ انتگرال پذیر در فاصله $[0,1] $ باشد وبرای هر عدد صحیح $n=1,2,3,... $ ، $ \int_0^1 f(x)^{n} dx= \int_0^1 f(x)dx $ باشد نشان دهید برای زیرمجموعه اندازه پذیری مانند $E\subset [0,1] $ باید$ f $ تقریبا همه جا با $ \chi_E $ برابر باشد. راهنمایی : با استفاده از لم فاتو اثبات شود .

دارای دیدگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط erfanm
Let    $ f $     be nonnegative and Lebesgueintegrable  in the  interval $[0,1]  $ ,and  $n=1,2,3,...  $ suppose that , for every integer   
$  \int_0^1 f(x)^{n}  dx= \int_0^1 f(x)dx   $
Show that   $ f $     must be   $a.e.   $  equal to the characteristic   function   $  \chi  _{E}      $    of  some  measurable  set   
$ E \subseteq [0,1] . $
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
ترجمه درستش رو نوشتم.
الان میتونید روی سوال فکر کنید!
دارای دیدگاه توسط yosef.sobhi
سلام دوستان میشه لطف کرده  این را اثبات کنید.چون هیچ کدام از  بچه ها دیروز در دانشگاه نتوانسته بودند حلش کنند. من هم هرچه قدر فکر کردم راه به جایی نبردم

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فقط کافیه توجه کنید که برای هر $ x $ دنباله ی $ f(x)^n$ اگر $ f(x)< 0 $ باشد به $ 0$همگراست و اگر $ f(x)=1 $ به $ 1 $ همگراست و اگر $ f(x)>1 $ آنگاه به $ \infty $ واگراست. بنابر لم فاتو برای هر $ x $ داریم:
$$\begin{align} \int\liminf f(x)^n&=\int \lim f(x)^n\\ &\leq \liminf\int f(x)^n\\ &=\liminf\int f(x)\\ &=\int f(x) \end{align}$$ اما بنابر فرض $ \int f< \infty $ بنابراین $\int\lim f(x)^n < \infty $ و لذا از گزاره زیر:

اگر $ f $ نامنفی انتگرال پذیر باشد یعنی $ \int f< \infty $ آنگاه $ \{ x: f(x)=\infty\}$ یک مجموعه پوچ است.(برای اثبات مثلا گزاره 2.20 از کتاب فولند را ببینید.)

داریم تقریبا همه جا $\lim f(x)^n < \infty $ و بنابر بحث اولیه ای که داشتیم باید تقریبا همه جا $f\leq 1 $ . در نتیجه تقریبا همه جا $ f^2\leq f $ یعنی $f-f^2\geq 0 $ و چون طبق فرض $ \int f^2=\int f $ پس $ \int(f-f^2)=0 $ که از مثبت بودن زیر انتگرال نتیجه می شود که $f-f^2=0 $ تقریبا همه جا. یا به عبارت دیگر $ f=0 $ یا $f=1 $ تقریبا همه جا. که این هم یعنی $ f $ تقریبا همه جا با $ \chi_E $ برای یک $ E $ اندازه پذیر برابر است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 418
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709560
...