به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
94 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Minakhalafi
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

فرض کنیدf,gاز اعداد حقیقی به اعداد حقیقی توابع لبگ اندازه پذیر باشددراینصورت لزوما fogلبگ اندازه پذیر نیست مثال بزنید.ممنون اگه راهنمایی کنید.

مرجع: کتاب فولند

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید $f:[0,1]\to [0,1]$ تابع کانتور باشد. و فرض کنید $g:[0,1]\to [0,2]$ تابع دوسویی پیوسته $g(x)=f(x)+x$ باشد. اگر $h=g^{-1}$ در اینصورت $h$ هم تابعی پیوسته است.

اگر مجموعه کانتور را با $C$ نمایش دهیم ثابت می شود که $g(C)$ دارای اندازه $2$ است و لذا دارای زیرمجموعه ای اندازه ناپذیر مثل $A$ است. در اینصورت می توان نشان داد $ (C\supset)B=g^{-1}(A)$ مجموعه ای لبگ است که بورل نیست.

در اینصورت $\chi_B$ (تابع مشخصه $B$ اندازه پذیر لبگ است است چون $B$ اندازه پذیر لبگ است) و $h$ (اندازه پذیر لبگ است چون پیوسته است) توابعی لبگ اندازه پذیرند ولی $\chi_B\circ h$ اندازه پذیر نیست چون $$(\chi_B\circ h)^{-1}(\{1\})=h^{-1}\circ \chi_B^{-1}(\{1\})=h^{-1}(B)=g(B)=A$$

دارای دیدگاه توسط fardina
سوال 9 فصل دوم کتاب فولند هست
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
64 نفر آنلاین
1 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2790
بازدید دیروز: 5083
بازدید کل: 4840983
...