چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
260 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط malihe

$ \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + .... + \frac{1}{ 20^{2} }=? $
میخواستم عبارت بالا را از راه فرمول حل کنم خوشحال میشم اگه کسی کمکم کنه

3 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

میدانیم که :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$

بنابراین خواهیم داشت :

$$\sum_{n=2}^{20}\dfrac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} -1 -\sum_{n=21}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

با تقریب نسبتا خوب میتوان گفت که :

$$\sum_{n=21}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sim \int_{20}^\infty \frac{1}{x^2} \; dx = \frac{1}{20}$$

بنابر این خواهیم داشت :

$$\sum_{n=2}^{20}\dfrac{1}{n^2} \sim\frac{\pi^2}{6} -1 -\frac{1}{20} = 0.59$$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo

سلام دوست عزیز.

مساله که شما گذاشته اید به مساله Basel معروف است. که اویلر با راه حل کاملا ابتکاری به مساله $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}$ پاسخ داد. و نشان داد $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} $ و همچنین سری $\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2}$ فرمول بسته ای ندارد. البته من یک فرمولی در Math.stackexchange دیده بودم که در اصل محاسبه را ساده نمیکنه!!!

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} - \psi^{(1)}(n+1)$$

که تابع $\psi$ trigamma function می باشد.

دارای دیدگاه توسط kazomano
البته استدلال اویلر ایراد داشت.
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

اویلر و مک لورن یک روش کارا برای محاسبه عددی مجموع های متناهی و نامتناهی به فرم$ S^{0} = \sum_1^N f(x) $ ارائه دادن. برای توضیح روش مجموع‌های کلی تر زیر را در نظر می‌گیریم $ S^{k} = \sum_1^N f^{(k)} (x) , k=0,1,...$ که $f:(0, \infty ) \rightarrow R$ یک تابع از کلاس $ C^{ \infty } $ است. با استفاده از فرمول تیلور برای یک تابع اولیه$F$ از$f$ تخمین ابتکاری زیر را به دست می آوریم $ \int_0^N f(x)dx=F(N)-F(0)= \sum_1^N (F(n)-F(n-1)) \approx \sum_1^N \frac{ F' (n)}{1!} - \frac{F''(n)}{2!} + \frac{F'''(n)}{3!} -... $* یعنی $ \int_0^N f(x)dx \approx \frac{ S^{0} }{1!} - \frac{ S^{1} }{2!} + \frac{ S^{2} }{3!} -... $ به طور مشابه برای مشتقات$f$ می‌توان فرمول‌های زیر را به دست آورد

$f(N)-f(0) \approx \frac{ S^{1} }{1!} - \frac{ S^{2} }{2!} + \frac{ S^{3} }{3!} -... $ و $ f'(N)-f'(0) \approx \frac{ S^{2} }{1!} - \frac{ S^{3} }{2!} + \frac{ S^{4} }{3!} -... $ و... با استفاده از این روابط می‌توانیم$ S^{1} $و$ S^{2} $و ... را از * یکی یکی حذف می‌کنیم و رابطه‌ی زیر را به دست می‌آوریم $ \sum_1^N f(n) \simeq \int_0^N f(x)dx + \sum_1^ \infty a_{k} ( f^{(k-1)}(N) - f^{(k-1)}(0) ) $ که ضرایب$ a_{k} $ به سرعت به سمت صفر همگرا می‌شوند. $ a_{1} = \frac{1}{2} , a_{2} = \frac{1}{12} , a_{3} =0, a_{4} = \frac{-1}{720} , a_{5} =0,...$


حالا از این فرمول با $f(x)= (x+1)^{-2} $ و $N=19$ میتونید برای مجموع خواسته شده استفاده کنید. تجزیه و تحلیل خطای روش دشواره و نیاز به مقدمات خیلی زیاده داره و اینجا نمیشه ارائه کرد درواقع به چندجمله‌ای های برنولی مربوط میشه.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2402
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673861
...