چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
67 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط amirabbas

می دانیم اگر $f(x)$ بر بازه متقارن $(-a \,, a)$ فرد باشد، خواهیم داشت:

$$ \int_{-a}^a{f(x)\,dx} = 0$$

آیا این قضیه در صورت ناسره بودن انتگرال برقرار است؟ برای مثال نتیجه گیری زیر صحیح است؟

$$\int_{-\infty}^\infty{\sin{x}\,dx = 0}$$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط amirabbas
 
بهترین پاسخ

باید تعریف انتگرال ناسره را بلد باشید. اگر $f$ روی $[a, \infty)$ تعریف شده باشد در اینصورت $\int_a^\infty f(x)dx$ را به صورت $\lim_{d\to \infty}\int_a^d f(x)dx$ تعریف می کنیم. و به همین ترتیب تعریف مشابهی را برای $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ داریم.

اگر $f$ روی $(-\infty, \infty)$ تعریف شده باشد در اینصورت تعریف می کنیم $$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-\infty}^a f(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx\quad \forall a\in(-\infty, \infty)$$

یعنی $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ موجود است اگر و تنها اگر $\int_a^\infty f(x)dx$ و $\int_{-\infty}^af(x)dx$ برای هر $a\in(-\infty, \infty)$ موجود باشند.

اما مثلا برای $a=0$ واضح است که $\int_0^\infty \sin xdx$ موجود نیست(چرا؟) پس این انتگرال مدنظر شما وجود ندارد.

تذکر: به $\lim_{d\to\infty}\int_{-d}^df(x)dx$ مقدار اصلی کوشی می گویند اما ممکن است این حد وجود داشته باشد در حالیکه $\int_a^\infty f(x)dx$ یا $\int_{-\infty}^af(x)dx$ موجود نباشند. پس نمی توان $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ را به صورت مقدار اصلی کوشی نمایش داد.

دارای دیدگاه توسط amirabbas
در مورد سینوس چون تناوب کرده و حدش منفی یا مثبت بینهایت نمی شود، نمی توان آن را به صورت مقدار اصلی کوشی نمایش داد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
@amirabbas
وقتی که $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ موجود نیست چطور میخواهید آن را با مقدار اصلی کوشی(که موجود است در اینجا و برابر صفر است) برابر بدانید؟
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

نمیتوان چنیین نتیجه ایی گرفت . برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید :

$$ \int_{-\infty}^{\infty} x dx $$

اگر بررسی کنید میبینید که وجود ندارد !

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
70 نفر آنلاین
0 عضو و 70 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5788
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4500908
...