به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
239 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط malihe
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

از وسط های اضلاع یک مثلث با سه زاویه تند ، عمود هایی بر دو ضلع دیگر آن وارد می کنیم ثابت کنید مساحت شش ضلعی ایجاد شده برابر با نصف مساحت مثلث است.

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro

enter image description here

میخواهیم ثابت کنیم مساحت شش ضلعی MKPDNH نصف مساحت کل است. برای این کار وسط های اضلاع مثلث را به هم وصل میکنیم تا مثلث MPN پدید آید. مساحت مثلث MPN یک چهارم مساحت کل است پس باید ثابت کنیم مساحت بقیه ی شش ضلعی هم یک چهارم مساحت کل است.

اکنون باید توجه کنید که نقاط H , D , K به ترتیب مرکز ارتفاعی مثلث های AMN , NCP , MPB هستند. پس اگر ارتفاع سوم این مثلث ها را رسم کنیم به ترتیب بر MN , NP , PM عمود است(این ارتفاع ها به صورت نقطه چین مشخص شده اند). حال توجه کنید که سه مثلث ANM , NCP , MPB به حالت سه ضلع هم نهشتند(این مطلب به سادگی اثبات میشود). پس به ترتیب از همنهشتی مثلث های (AMN , MPB) و (NCP , MPB) میتوان نتیجه گرفت که مثلث های (HNM , KPB) و (NDP , MKB) با هم هم نهشتند. پس داریم:

1) مثلث های HNM , KPB هم نهشتند. پس مساحت آنها برابر است یعنی $S_{KPB}$=$S_{HNM}$

2) مثلث های NDP , MKB هم نهشتند. پس مساحت آنها برابر است یعنی $S_{NDP}$=$S_{MKB}$

پس میتوان نتیجه گرفت که جمع مساحت مساحت مثلث های HNM , NDP , MKP به ترتیب برابر جمع مساحت مثلث های KPB , MKB ,MKP است که این هم برابر مساحت مثلث MPB است که این هم یک چهارم مساحت کل است. و این هم همان چیزی است که می خواستیم ثابت کنیم. در حقیقت می خواستیم ثابت کنیم مساحت بقیه ی شش ضلعی یک چهارم مساحت کل است و اکنون هم ثابت شد.

خلاصه:

مساحت شش ضلعی برابر جمع مساحت مثلث های MNP , HNM , NDP , MKP است که جمع مساحت مثلث های HNM , NDP , MKP همان مساحت مثلث MPB است. یعنی مساحت شش ضلعی جمع مساحت مثلث های MNP , MPB است که مساحت هرکدام یک چهارم مساحت کل است و در نتیجه جمع مساحت آنها که همان مساحت شش ضلعی است، یک دوم مساحت کل است. پس حکم اثبات شد. تمام شد و رفت

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
58 نفر آنلاین
1 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2691
بازدید دیروز: 5083
بازدید کل: 4840884
...