چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
390 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط رها
ویرایش شده توسط admin

چرا شرط صعودی بودن دنباله توابع در قضیه همگرایی یکنوا ضروری است؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به عنوان یک مثال نقض دنباله توابع $f_n $ را روی بازه $[0,1] $ به صورت شکل داده شده در نظر بگیرید: enter image description here

در اینصورت $ f_n(x)\to 0 $ برای هر $x\in[0,1] $ در حالیکه $ \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]} f_n(x)dx \neq \int 0 $ . چرا؟

دارای دیدگاه توسط رها
+1
به اثبات اصلا شک ندارم ولی:
پس این nی که روی محور yها گذاشتین چیه؟؟؟ مگه غیر از اینه که با افزایش n, قاعده ی مثلث کوچیک و کوچیکتر میشه و ارتفاعش بزرگ و بزرگتر؟؟؟ قاعده مثلث که به صفر میل میکنه ولی توو همه ی این دیدگاها منظور من این بود که تکلیف این ارتفاعی که مرتبا در حال افزایشه چی میشه؟!؟!؟
بگذریم,خیلی خستتون کردم,از لطفتون هم ممنون
دارای دیدگاه توسط fardina
+3
ببینید فرض کنید $x$ یک نقطه در $[0,1]$ باشه. در اینصورت ما میخوایم بدونیم تکلیف $f_n(x)$ چی میشه. شما وقتی $f_n$ رو برای $n$ های بزرگ در نظر میگیرید میدونید که اون قاعده مثلث کوچک و کوچکتر میشه. خوب وقتی که $n$ خیلی بزرگ بشه مطمئنا اون $x$ که در نظر گرفته بودین خارج از قاعده مثلث میفته. مشکل اینه که شما فکر میکنید این $x$ با کوچک شدن قاعده مثلث اون همیشه توی قاعده میمونه. درحالیکه اینطور نیست.
مثلا فرض کنید نقطه $x=\frac{1}{1000000}$ در اینصورت فقط برای $n\leq 1000000$ این نقطه داخل قاعده مثلث میفته و لذا مقدار $f_n(x)$ مثبت میشه. ولی از $n\geq 1000001$ به بعد دیگه این نقطه داخل قاعده مثلثه نمیفته و بنابراین از $1000001$ به بعد داریم $f_n(x)=0$. بنابراین $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$
نمیدونم دیگه شاید من نمیتونم درست توضیح بدم.
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
یا اصلا بهتر بگم: شما یک نقطه غیر از صفر به من بگید که توی قاعده همه ی $f_n$ ها قرار بگیره؟
دارای دیدگاه توسط رها
+1
آهان,حالا شد.دیگه واقعا قانع شدم.سپاس
ببخشید اگه خیلی اذیتتون کردم.مشکل من اینه که برخلاف خیلی از ریاضی خون ها,نمیتونم یک مساله ریاضی رو بدون اینکه کاملا درکش کنم ازش بگذرم.شایدم سوالام از دید شما خیلی پیش و پا افتاده باشه ولی از کمکتون خیلی ممنونم.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@رها ، ای کاش تیک تأیید پاسخ را نیز پس از اینکه فهمیدید درست است می‌زدید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 421
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709563
...