به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
71 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط uruguay
ویرایش شده توسط AmirHosein

ABCD یک مربع است. کمان AC را به مرکز D و شعاع AD رسم کرده ایم. نقطهٔ E را روی کمان AC طوری انتخاب کرده‌ایم که زاویهٔ ADE دوبرابر زاویه ABE شود. اندازهٔ زاویهٔ ABE را بدست آورید.

enter image description here

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
بهتر می‌بود تصویر به این سادگی را با paint می‌کشیدید و بارگذاری می‌کردید. تصویر سابق که عکس گرفته‌بودید زمان بیشتری برای بالاآمدن نیاز داشت. براتان ویرایش کردم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

نخست از E به A یک خط وصل بکنید. کمک می‌کند کمی وضعیت روشن‌تر شود. enter image description here

اینکه کمان AC یک ربع‌دایره به مرکز D و شعاع AD است این را نتیجه می‌دهد که پاره‌خط AE هم‌درازای پاره‌خط AD یعنی یال مربع است. پس یک سه‌گوش متساوی‌الساقین داریم. در سه‌گوش‌های متساوی‌الساقین دو زاویهٔ دو گوشهٔ پای دو یال هم‌اندازه، برابر هستند. پس اگر اندازهٔ زاویهٔ ABE را با $x$ نمایش دهیم، آنگاه زاویهٔ ADE برابر با $2x$ است (بنا به فرض پرسش). سپس هر زاویهٔ پای سه‌گوش ADE برابر با $\frac{180-2x}{2}$ می‌شود. اکنون که زاویهٔ EAD برابر با $90-x$ است پس زاویهٔ $BAE$ برابر با $90-(90-x)$ می‌شود. پس سه‌گوش AEB نیز متساوی‌الساقین است. در نتیجه نقطهٔ E باید از دو نقطهٔ A و B یک فاصله داشته باشد.

بدون کاستن از کلیت فرض کنید A مبدأ مختصات باشد و درازای یال مربع یک باشد. مختصات نقطهٔ E را $(a,b)$ بنامید. اگر فرمول فاصلهٔ این نقطه از نقطهٔ $A=(0,0)$ و نقطهٔ $B=(0,1)$ را بنویسید و برابر قرار دهید و حل کنید به $b=\frac{1}{2}$ می‌رسید. اکنون از اینکه E روی دایرهٔ $(X-1)^2+Y^2=1$ قرار دارد استفاده کنید. پس $a=1-\sqrt{\frac{3}{4}}$.

اینک از E به یال AB عمودی رسم کنید. از تعریف $\tan$ داریم: $$x=arc\tan(\dfrac{1-\sqrt{\frac{3}{4}}}{\frac{1}{2}})=arc\tan(2(1-\sqrt{\frac{3}{4}}))$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...