به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
77 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Hamide
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

اگر $X\simeq Y$ و $X$ انقباض‌پذیر contractible باشد، آنگاه $Y$ هم انقباض‌پذیر است. در اینجا $\simeq$ به معنای وابرریخت است.

مرجع: An Introduction to Algebraic Topology نوشتهٔ Rotman صفحه 19
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Hamide اصطلاح retraction را انقباض ترجمه نمی‌کنند، retraction توکشیدگی و retract توکشیدن ترجمه می‌شود. حتی در زبان عربی نیز آن را ‌إنکماش می‌گویند نه انقباض. traction به معنای نیروی کششی و کشش معنی می‌دهد و re+traction می‌خواهد چیزی شبیه به دوباره+کشیدن برساند که به داخل کشیدن، به تو کشیدن می‌شود، تا آنجا که من در جریان بودم واژهٔ توکشی را برایش تأیید کرده‌بودند. انبساط و انقباض متفاوت هستند، وقتی می‌گوئید انقباض یعنی کاهش حجم که می‌تواند به هر علتی باشد نه فقط به علت نیروی کششی. از نظر ریاضی نیز نگاشت توکشی و نگاشت انقباضی تعریف‌های متفاوتی دارند.
دارای دیدگاه توسط Hamide
@amirhosein ممنون از اطلاعاتی که در اختیارم قرار دادین. ما این واژه را انقباض وتابع انقباض ترجمه کردیم!!!
و هومئو مورف را همسان ریخت.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@Hamide خب استادتان اشتباه آن را انقباض ترجمه کرده‌است. compact، contract و  retract هر سه هم از نظر واژه‌نامه‌ای و هم از نظر توپولوژی سه واژهٔ متفاوت هستند.
دارای دیدگاه توسط Hamide
@amirhosein با سلام و عرض ادب حضورتون.
عذر خواهی میکنم آقای دکتر میشه راهنمایی بفرمایید چرا در  F(∼,0)=idX و F(∼,1)=cx0 رابطه هم ارزی را قرار دادین؟؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@Hamide علامت $\sim$ در $F(\sim,0)$ نشانهٔ هم‌ارزی نیست. اگر می‌نوشتم $F(x,0)$ آنگاه در مقابلش نیز می‌بایست می‌نوشتم $id_X(x)$، اگر $x$ را نگذارم باید بنویسم $F(\sim,0)=id_X$ یا برخی می‌نویسند $F(-,0)=id_X$. در این نوشتار تأکید بر تابع است در حالیکه در نوشتارِ $F(x,0)=id_X(x)$ تأکید بر اثر تابع در یک نقطه‌است.

این دیدگاه را می‌بایست زیر پاسخ می‌نوشتید نه زیر پرسش، زیرا در متن پاسخ برایتان پرسش شده‌است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Hamide
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $X$ و $Y$ دو فضای توپولوژیک وابرریخت باشند. این یعنی یک وابرریختی بین این این دو وجود دارد. اگر این وابرریختی که یک تابع است را با $f:X\rightarrow Y$ نمایش دهیم آنگاه وابرریختی بودنش یعنی $f$ پیوسته است و دارای یک وارون دوطرفه $f^{-1}$ است که آن نیز پیوسته است. توجه کنید که $f^{-1}:Y\rightarrow X$ و $f\circ f^{-1}=id_X$ و $f^{-1}\circ f=id_Y$.

اکنون از انقباض‌پذیریِ $X$ (contractible با compactable فرق دارد! یکُمی به معنای انقباض‌پذیر و دومی به معنای فشرده‌‌پذیری است که دو مفهوم متفاوت توپولوژیکی هستند) نتیجه می‌شود که تابع همانیِ روی $X$ با تابع ثابت هموتوپ است. پس اگر $x_0$ یک نقطهٔ دلخواه ثابت از $X$ باشد و تعریف کنیم $c_{x_0}:X\rightarrow X$ تابعی باشد که هر عضو از $X$ را به $x_0$ می‌نگارد، آنگاه $id_X\simeq c_{x_0}$. این یعنی یک هموتوپی بین این دو تابع وجود دارد. اگر این هموتوپی را $F$ بنامیم آنگاه $F:X\times [0,1]\rightarrow X$ پیوسته است و $F(\sim,0)=id_X$ و $F(\sim,1)=c_{x_0}$.

اینکه چرا $Y$ خودبه‌خود نیز انقباض‌پذیر می‌شود به این دلیل است که به کمک $f$ و $F$ به راحتی می‌توانی یک هموتوپی برای انقباض‌پذیر کردنش ساخت.

$y_0$ را یک عضو دلخواه از $Y$ بردارید. چون $f$ پوشا بود (از وارون دو طرفه داشتنش یک‌به‌یکی و پوشا بودنش نتیجه می‌شود)، $x_0$ای از $X$ می‌توان یافت که $y_0=f(x_0)$. اکنون تابع ثابت $c_{y_0}:Y\rightarrow Y$ را به روش مشابه تابع ثابت پیشین تعریف کنید یعنی هر عنصر از $Y$ را به $y_0$ بنگارد. تابع همانی بوسیلهٔ تابع زیر با تابع $c_{y_0}$ هموتوپ می‌شود. $$\left\lbrace\begin{array}{rl} G:Y\times [0,1] & \rightarrow Y\\ G(y,t):= & f(F(f^{-1}(y),t))\end{array}\right.$$ پیوسته بودن آن از اینکه $f$ و وارونش $f^{-1}$ و $F$ پیوسته هستند و ترکیب تابع‌های پیوسته، پیوسته می‌شود نتیجه می‌شود. اکنون باید $t$ را یک بار صفر و یک بار یک قرار بدهیم و ببینیم آیا تابع همانیِ روی $Y$ و تابع ثابت مورد نظرمان را می‌دهد یا خیر. $$G(y,0)=f(F(f^{-1}(y),0))=f(id_X(f^{-1}(y)))=f(f^{-1}(y))=y=id_Y(y)$$ $$G(y,1)=f(F(f^{-1}(y),1))=f(c_{f^{-1}(y_0)}(f^{-1}(y_0))=f(f^{-1}(y_0))=y_0=c_{y_0}(y)$$ توجه کنید که چون $x_0$ مساوی $f^{-1}(y_0)$ بود در بالا به جای $x_0$ همان $f^{-1}(y_0)$ را نوشتیم و پیش رفتیم.

دارای دیدگاه توسط Hamide
با حالت دوم برخورد داشتم. به همین علت تصور کردم علامت کذایی علامت هم ارزی است.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...