چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
308 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Mohsen94
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

سلام مجموع ارقام کوچکترین عدد طبیعی که وقتی آن را نصف کنیم مربع کامل میشود و اگر آن را بر ۳ تقسیم کنیم مکعب کامل میشود رو میخواستم ممنون

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط ارژنگ

با سلام و عرض ارادت ،حل بسیار سادست، فرض میکنیم عددمان k باشن در این صورت داریم: $k= 2 ^{ a_{1} }. 3^{ a_{2} } . p_{3} ^{ a_{3} }. .... . p_{n} ^{ a_{n} } $ میدانیم،

$ a_{1} -1$و$ a_{2} $و ....و $a_{n}$ همگی زوج اند ،چون گفته شده مربع کامل و از طرف دیگر میدانیم: $ a_{1} $و $ a_{2}-1 $و....و$ a_{n} $همگی عضو مجموعه اعدد به صورت$ 3m $ هستند پس: $ a_{1} = 6t+3$و$ a_{2} =6 t'+4 $که چون گفته شده کوچکترین عدد طبیعی ،پس حاصل: $81 \times 8$ خواهد بود.

دارای دیدگاه توسط Mohsen94
سلام
ممنون
اما نفهمیدیم چطور حل کردین
دارای دیدگاه توسط shahabmath
مکعب کامل به صورت n^3 نوشته میشه که شما نوشتین سه به توان n!!!
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

فرض کنید عدد مطلوب برابر با $n$ باشد. اینکه نصف آن مربع کامل شود یعنی $k_1$ ای باشد که $\frac{n}{2}=k_1^2$ و اینکه یک‌سوم آن مکعب کامل شود یعنی $k_2$ ای باشد که $\frac{n}{3}=k_2^3$. اکنون داریم: $$n=2k_1^2=3k_2^3$$ پس ۲ باید $3k_2^3$ را بشمارد ولی چون ۲ و ۳ نسبت به هم اول هستند پس $k_2^3$ رامی‌شمارد، از جبر و احتمال سال سوم داریم که اگر عدد اولی توانی از یک عددی را بشمارد، باید خود آن عدد را نیز بشمارد پس ۲، $k_2$ را می‌شمارد. پس $k_2'$ ای وجود دارد که $k_2=2k_2'$. به روش مشابه ۳ باید $k_1$ را بشمارد پس $k_1'$ ای وجود دارد که $k_1=3k_1'$. اکنون در فرمول اصلی جایگذاری می‌کنیم داریم: $$18(k_1')^2=24(k_2')^3$$ پس از ساده سازی داریم $3(k_1')^2=2^2(k_2')^3$. و دوباره با استدلال مشابه داریم $k_2'=3k_2''$ و $k_1'=2k_1''$. پس از جایگذاری $$3\cdot 2^2(k_1'')^2=2^2\cdot 3^3(k_2'')^3$$ در این مرحله از شر عامل ۲ رها می‌شویم و داریم $k_1''=3^2(k_2'')^3$. پس $k_1''=3k_1'''$. اکنون پس از جایگذاری داریم: $$(k_1''')^2=(k_2'')^3$$ هر عددی که هم مکعب و هم مربع باشد کار را راه می‌اندازد. کوچکترین عدد طبیعی صادق در این ویژگی یک است. پس $k_1'''=\sqrt{1}=1$ و $k_2''=\sqrt[3]{1}=1$. اینک تنها کافیست با یکی از $k_1^i$ها یا $k_2^i$ جایگذاری برعکس بکنیم تا $n$ را بدست بیاوریم. برای نمونه با $k_1^i$ها برویم داریم: $$n=2(3(2(3k_1''')))^2=2(18)^2=648$$ اگر توجه کنید داریم $648=2(18)^2$ و $648=3(6)^3$ همانطور که دیدید هیچ سختی‌ای در پرسش نیست. تنها نیاز دارد چیزی که پرسش گفته است را به زبان ریاضی بنویسید (یعنی دو خط نخست) و سپس از قوانین شمردن استفاده کنید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4216
بازدید دیروز: 5680
بازدید کل: 4670597
...