به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
79 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Hamide
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر $U$ زیرمجموعهٔ بازی از $\mathbb{R}^n$ باشد، آنگاه $U$ همبند است اگر و تنها اگر $U$ همبند مسیری باشد.

مرجع: An introduction to algebraic topology نوشتهٔ J. Rotman صفحهٔ 25 تمرین ۱.۱۷
دارای دیدگاه توسط Hamide
+1
@amirhosein همبند بودن همبند مسیری طبق قضیه ای برقرار است. برعکس اگر همبند باشد باید ثابت کنیم در این فضا مسیری است. تعریف همبند مسیری مشخص است مسیر همواره یک تابع پیوسته نیاز دارد
این تابع پیوسته را چه در نظر بگیریم؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Hamide توجه کرده‌اید که چرا پرسش شرط «مجموعهٔ باز از $\mathbb{R}^n$» را گذاشته است؟ چرا مثلا باز در یک فضای دلخواه نه؟ تمام نکته در پاسخ همین پرسش است.
دارای دیدگاه توسط Hamide
@amirhosein قطعا در فضای دلخواه همبند مسیری بودن همبندی برقرار نیست اما متوجه نمیشم در این فضا چرا؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Hamide نه پاسخ پرسش من چیزی که گفتید نیست. بگذارید به این شکل بپرسم؛ یک باز در $\mathbb{R}^n$ به چه شکل است؟
دارای دیدگاه توسط Hamide
ویرایش شده توسط Hamide
@amirhosein به صورت گوی باز.
اگر فضای اقلیدسی بنامیم.
$\mathbb{R}^n$ حاصلضرب دکارتی n نسخه از $R$ است.
وچون در گوی باز هر دونقطه قطعا توسط مسیری در فضا بهم وصل میشوند؟!

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Hamide
 
بهترین پاسخ

متأسفانه مدرسین دروس پایه خیلی بحث تمارین را شُل می‌گیرند و دانشجویان نیز تا ازشان خواسته نشود به سراغ تمرین‌ها نمی‌روند. در درس آنالیز ریاضی یک باید دانشجو به مفاهیمش کاملا مسلط شود و گرنه استادی که بدون داشتن تسلط دانشجویانش به دروس بالاتر فرستاده شوند اشکالی در کارش هست. کمترین حد قابل قبول برای اینکه فردی بتواند بگوید آنالیز ریاضی یک را فرا گرفته‌است دانستن ۴ فصل نخست کتاب اصول آنالیز ریاضی رودین که آقای علی‌اکبر عالم‌زاده آن را نیز ترجمه کرده است، به همراه تمام تمارین این چهار فصل می‌باشد. به ویژه تمارین فصل دو که معمولا در آزمون‌های کنکورهای ورودی ارشد و دکترا حضور داشته‌است. در تمرین ۲۹ فصل دوی این کتاب (ویرایش سوم نسخهٔ زبان اصل) داشتید که «هر مجموعهٔ باز در $\mathbb{R}^1$ را می‌توان به شکل اجتماعی از حداکثر شمارش‌پذیری از بازه‌های دو به دو مجزا از هم نوشت». یعنی چه؟ یعنی یک باز در $\mathbb{R}^1$ اجتماعی از بازه‌های باز به شکل $(a,b)$ است که $a$ و $b$ می‌توانند مساوی باشند (که تهی را می‌دهد) و اینکه می‌توانند بینهایت هم باشند (اگر یکی مثبت بینهایت و دیگری منفی بینهایت باشد آنگاه کل اعداد حقیقی می‌شود) که دو به دو این بازه‌ها هیچ اشتراکی ندارند. اکنون تهی‌ها را بیندازید دور و فرض کنید که بازتان تهی نیست. اگر یک بازه بود که همبند مسیری بودنش از «همبند مسیری بودن مجموعه‌های محدب» بدیهی است. اگر بیشتر از دو بازه بود آنگاه توجه کنید که هیچ اشتراکی ندارند! یکی را $A$ بنامید و اجتماع مابقی را $B$ بنامید. پس دو زیرمجموعهٔ باز ناتهی مجزا از بازتان دارید که اجتماعشان می‌شود کل آن باز، اگر یادتان باشد ناهمبند بودن چنیدن تعریف هم‌ارز داشت یکی‌شان وجود دو زیرمجموعهٔ باز ناتهی بود که اجتماعشان کل مجموعه شود. پس اگر بازی که برداشته‌اید یک بازه نباشد آنگاه ناهمبند است. پس همبند بودن و همبند مسیری بودن برای بازهای $\mathbb{R}$ هر دو هم‌ارز با بازه بودنشان می‌شود. اگر در درس آنالیز ریاضی یک تمرین ۲۹ را حل کرده‌باشید می‌دانید که برای $\mathbb{R}^n$ نیز می‌توانید تعمیمش دهید. همان‌گونه که در راهنمایی کتاب نیز آمده‌است نکتهٔ اصلی حل از تمرین ۲۲ یعنی جدائی‌پذیر بودن فضای متریک‌تان استفاده می‌کند.

دارای دیدگاه توسط Hamide
+1
@amirhosein ضمن سپاس. در مورد نقدی که فرمودید دقیقاً به همین صورت است. چند صفحه ای جزوه و اثبات قضیه را حفظ میکنیم و امتحان می‌دیم.
به وضوح بسیاری از مفاهیم پس از امتحان پایانی فراموش میشوند.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
35 نفر آنلاین
0 عضو و 35 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1164
بازدید دیروز: 5435
بازدید کل: 4834276
...