به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
137 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط hossain79
ویرایش شده توسط fardina

10 عدد اول تشکیل دنباله حسابی داده اند اگر هریک از این اعداد کوچکتر از 3000 باشد آنها را بیابید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro
نمایش از نو توسط Mahdimoro

ابتدا بگویم که این سوال باید با کامپیوتر حل شود. اما می توان سوال را ساده کرد تا به جواب رسید.

فرض کنید دنباله به این صورت باشد:

$p+9d$ , ... , $p+2d$ , $p+d$ , $p$ که در آن همه ی جملات اول هستند.

همین اول کار نتیجه ای به دست می آوریم. چون همه ی اعداد از 3000 کمترند پس:

$9d$ $ \geq $ 3000 $ \Leftarrow $ $d$ $ \geq $ $\frac{1000}{3}$ $ \geq $ 334

اکنون توجه کنید که $d$ باید بر 2 و 3 و 5 و 7 بخشپذیر باشد. این مطلب را می توان به آسانی با برهان خلف اثبات کرد، چراکه اگر چنین نباشد آنگاه حداقل یکی از ده عدد در دنباله بر حداقل یکی از اعداد 2 و 3 و 5 و 7 بخش پذیر می شود که دیگر اول نیست(این کار با حالت بندی انجام می شود). پس $d$ بر تمام اعداد 2و3و5و7 بخش پذیر است و بنابراین بر 210=7×5×3×2 هم بخش پذیر است. از طرفی میدانیم $d$ از 334 کمتر است. پس $d$ دقیقا 210 است.پس دنباله به صورت زیر در می آید:

$p$ , $p+210$ , $p+420$ ,..., $p+1890$

پس داریم:

$p+1890$ $\geq$ 3000 $\Leftarrow$ $p$ $\geq$ 1110

چون 210 به پیمانه ی 11 برابر 1 است می توان نتیجه گرفت که $p$ هم به پیمانه ی 11 برابر 1 است، چراکه اگر چنین نباشد یکی از اعداد دنباله بر 11 بخش پذیر میشود که متناقض با اول بودن جملات دنباله است.

اکنون میتوان با کامپیوتر اعداد اول تا 1110 را که به پیمانه ی 11 برابر 1 هستند را حساب کرد که به صورت زیرند:

23,67,89,199,331,353,397,419,463,617,661,683,727,859,881,947,991,1013

که باز هم با کامپیوتر می توان حساب کرد که تنها 199 ویژگی های سوال را دارد. در حقیقت دنباله ی زیر جواب است:

199 , 409 , 619 , 829 , 1039 , 1249 , 1459 , 1669 , 1879 , 2089

خواهشا از این سوال ها نگذارید.........

دارای دیدگاه توسط hossain79
ممنون
واقعا کامل بود
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...