به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
141 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط bahars
ویرایش شده توسط fardina

اگر $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد نشان دهید هر $D \in \Im $ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی است.

تعریف1: یک اندازه $ \mu $ روی یک $ \sigma $ - جبر $ \Im $ از زیرمجموعه های $X$ را $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (E_{n})< \infty $.

تعریف 2: یک مجموعه $D \in \Im $ را در یک فضای اندازه دلخواه $(X, \Im , \mu )$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( D_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (D_{n})< \infty $.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
من درست متوجه سوال نمیشم. چند چیز به ذهنم میرسه ولی نمیدونم کدومش مدنظر شماست!
منظور شما این هست که $\mu$ یک اندازه سیگمامتناهی روی $(X,\mathcal M)$ است و حال اگر $E\in\mathcal M$ اندازه پذیر باشد می خواهید یک سیگماجبر $\mathcal N$ روی زیرمجموعه های $E$ و یک اندازه سیگمامتناهی روی $(E, \mathcal N)$ بدست آورید؟
دارای دیدگاه توسط bahars
ممنونم
سوال دقیقا این است : نشان دهید اگر µ یک اندازه سیگما  متناهی بر(  X,M )  باشد در این صورت هر مجموعه اندازه پذیر دارای اندازه  سیگما متناهی است
دارای دیدگاه توسط bahars
–1
من به این صورت حل کردم :چون µ یک اندازه سیگما متناهی است بنابر این هر دنباله مثل (XI)  که اجتماع XI    ها می شودX در نظر بگیریم (XI)µ متناهی است بنابراین به ازای هر AI عضو سیگما جبر M که در نظر بگیریم:
اگر در نظر بگیریم :  اجتماع AI = A
(AI)µ ∑ (A)= µ  و چون هرکدام از (AI)µ ها متنهای هستند پس  (A) µ  نیز متناهی است
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
تعریف سیگما متناهی چیست؟
به نظر میرسه شما باید مطالعه بیشتری داشته باشید. تعارف و قضایا را خوب درک کنید. بعد از آن می توانید به حل مسائل بپردازید و کمک بخواهید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@Maisam.Hedyehloo
به نظرم دیگه به صورت پاسخ میذاشتین بهتر بود تا کامنت.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo
 
بهترین پاسخ

$(X,B,\mu)$ فضای اندازه سیگما متناهی در این صورت داریم

$X\subset \cup_{i=1}^{\infty} X_i$
که $\mu(X_i)$ $\gt$ $\infty$

به ازای هر مجموعه اندازه $E$ داریم :

$E=X\cap E\subset \cup_{i=1}^{\infty}E\cap X_i$

$\mu(X_i\cap E )$ $\gt$ $\infty$

دارای دیدگاه توسط kazomano
@Maisam.Hedyehlo
شما تعریف رو زیرمجموعه درنظر گرفتید. من ندیدم زیرمجموعه تعریف کنن. مرجعی دارید که تعریف شما مدنظرش باشه؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@kazomano
چون گفتن اندازه اون‌مجموعه ها متناهی باشه پس بطور ضمنی اندازه پذیری آنها رو مد نظر داشتن.
دارای دیدگاه توسط kazomano
@fardina
نه ایشون ثابت کردن که مجموعه E زیرمجموعه فلان اجتماعه پس سیگما متناهیه. یعنی تعریف اصلی زیرمجموعه بودن رو میخواد یا باید تساوی رو نشون داد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@kazomano
برابری ها هم واضح هستن. چون $X_i$ ها زیرمجموعه $X$ هستن پس اجتماعشون هم زیر مجموعه $X$ هست لذا برابرند. و همینطور در مورد $E\cap X_i$ ها که همگی زیرمجموعه $E$ هستن.
دارای دیدگاه توسط kazomano
@fardina
درست میگید.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

گیریم $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد. طبق تعریف وجود دارد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داریم $ \mu (E_{n})< \infty $. گیریم $D \in \Im $ . برای هر $n \in N$ گیریم $ D_{n} =D \bigcap E_{n} $. در این صورت $( D_{n} : n \in N )$ دنباله‌ای در $ \Im $ و $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $n \in N$ داریم $ \mu ( D_{n} \leq \mu ( E_{n} )< \infty $. پس $D$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی می باشد.

دارای دیدگاه توسط bahars
–1
از همه شما بزرگواران کمال تشکر و سپاس رو دارم م ممنون بابت وقت و حوصله ای که گذاشتید

ولی میخواستم بگم مسلمه که دانشجوی ترم اول ارشد  هنوز مثل شما بزرگواران وارد به نحوه صحیح درس خوندن و تحقیق و پژوهش نشده و بنابر این اگر به جای تحقیر و سرزنش راهنمایی بشه خیلی اثر بیشتری داره همینطور نحوه برخورد با کسی که اولین باره سوالی رو از سایت وزین و ارزشمند شما میپرسه نباید تند باشه در ضمن هنوزم مطمئنم که تعریف من از سیگما متناهی درست و بی نقصه ممکنه نحوه تایپ مشکل داشته باشه


ممنون و بی نهایت سپاسگزارم
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@bahars کسی شما را سرزنش نکرده‌است. گفته‌اند در تعریف اشکال دارید که خود راهنمایی است. بعلاوه پس از چند بار دیدگاه گذاشتن و پیام خصوصی فرستادن شما هنوز یک مرجع را در پرسش‌تان ویرایش نکرده‌اید. اگر نام کتاب است که کاملش کنید و اگر نام کتابی نیست حذفش کنید. به همین سادگی.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
64 نفر آنلاین
1 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2775
بازدید دیروز: 5083
بازدید کل: 4840968
...