چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
720 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

مثال نقضی بیاورید که نشان دهد $ \int f=0 \rightarrow f=0 (a.e) $ همواره برقرار نیست؟

(در حالی که میدانیم $( (a.e) f=0 \longleftrightarrow \int_E f = 0, \forall E \in M $ همواره برقرار است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید $(X,\mathcal M ,\mu) $ یک فضای اندازه باشد. به قضایای زیر توجه کنید:

اگر $f:X\to[0,\infty] $ اندازه پذیر باشد آنگاه $$ \int f=0 \Leftrightarrow f=0\quad a.e. $$ .

همانطور که میبینید برای توابع اندازه پذیر مثبت ، $ \int f=0 $ با $ f=0\ a.e. $ هم ارز است.

اما در حالت کلی برای هر $f,g\in L^1(X) $ دلخواه گزاره های زیر هم ارز هستند:

  1. $\int_E f=\int_E g $ به ازای هر $ E\in \mathcal M $
  2. $ \int|f-g|=0 $
  3. $ f=g\quad a.e. $

یعنی برای تابع اندازه پذیر $ f:X\to [-\infty,\infty] $ نمی توان از $ \int f=0 $ نتیجه گرفت $ f=0\quad a.e.$ چرا که $ f $ مثبت نیست. ولی از $ \int_E f=0 $ به ازای هر $ E\in \mathcal M $ می توان نتیجه گرفت $ f=0\quad a.e. $ .

به عنوان مثال نقض هم کافیه مثلا تابع $ f:[-1,1]\to \mathbb R $ را با ضابطه
$$ f(x) =\begin{cases}1 & 0\leq x\leq 1\\-1 & -1\leq x< 0 \end{cases} $$ در اینصورت
$ \int_{[-1,1]}f=0 $ در حالیکه $ f \neq 0\quad a.e. $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 359
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709501
...