به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
143 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Mahdimoro

ثابت کنید دنباله ی زیر همگراست:

$$ a_{n} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ F_{i} } $$

که در آن $F_i$ بیانگر $i$ امین عدد دنباله ی فیبوناچی است.

$$F_1=1 , F_2=2 , \forall i \geq 3 : F_i = F_{i-1}+ F_{i-2}$$

دارای دیدگاه توسط Mahdimoro
@saderi7
ممنون. من دنبال راه حلی با این نکته بودم.

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط Mahdimoro
 
بهترین پاسخ

میتوان ثابت کرد که دنباله $a_n$ صعودی است و همچنین با توجه به صعودی بودن دنباله فیبوناچی خواهیم داشت $\dfrac{F_{i-1}}{F_{i-2}} \geq 1 $

در نتیجه داریم : $$\begin{align} \frac{1}{F_i} & \leq \frac{F_{i-1}}{F_iF_{i-2}} = \frac{F_{i} - F_{i-2}}{F_iF_{i-2}} \\& = \frac{1}{F_{i-2}} - \frac{1}{F_i} \\ &= \left(\frac{1}{F_{i-2}} + \frac{1}{F_{i-1}}\right) - \left(\frac{1}{F_{i-1}} + \frac{1}{F_i}\right)\\ &= \frac{F_{i}}{F_{i-2}F_{i-1}} - \frac{F_{i+1}}{F_{i-1}F_i} \end{align} $$

از اینجا ثابت میکنیم که :

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{F_i} = 2 + \sum_{i=3}^n \frac{1}{F_i} \le 2 + \frac{F_3}{F_1F_2} - \frac{F_{i+1}}{F_{i-1}F_i} \le 2 + \frac{2}{1\cdot 1} = 4$$

دنباله $a_n$ از بالا کراندار است و میدانیم که دنباله صعودی از بالا کراندار همگراست بنابراین دنباله $a_n$ همگراست .

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط saderi7

اولا $ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac{ F_{n+1} }{ F_{n} }= \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} $ که اثباتش برعهده خودتون. ثانیا بنابه آزمون دالامبر برای اینکه ببینیم سری همگراست یا نه باید ببینیم حد$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac{ \dfrac{1}{F_{n+1}} }{ \dfrac{1}{F_{n}} } $ چی میشه که بنا به اولا میشه $ \dfrac{2}{1+ \sqrt{5} } < 1$ پس سری همگراست و بنابراین دنباله موردنظر همگراست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 392
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012627
...