چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
121 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Mahdimoro

ثابت کنید دنباله ی زیر همگراست:

$$ a_{n} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ F_{i} } $$

که در آن $F_i$ بیانگر $i$ امین عدد دنباله ی فیبوناچی است.

$$F_1=1 , F_2=2 , \forall i \geq 3 : F_i = F_{i-1}+ F_{i-2}$$

دارای دیدگاه توسط Mahdimoro
@saderi7
ممنون. من دنبال راه حلی با این نکته بودم.

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط Mahdimoro
 
بهترین پاسخ

میتوان ثابت کرد که دنباله $a_n$ صعودی است و همچنین با توجه به صعودی بودن دنباله فیبوناچی خواهیم داشت $\dfrac{F_{i-1}}{F_{i-2}} \geq 1 $

در نتیجه داریم : $$\begin{align} \frac{1}{F_i} & \leq \frac{F_{i-1}}{F_iF_{i-2}} = \frac{F_{i} - F_{i-2}}{F_iF_{i-2}} \\& = \frac{1}{F_{i-2}} - \frac{1}{F_i} \\ &= \left(\frac{1}{F_{i-2}} + \frac{1}{F_{i-1}}\right) - \left(\frac{1}{F_{i-1}} + \frac{1}{F_i}\right)\\ &= \frac{F_{i}}{F_{i-2}F_{i-1}} - \frac{F_{i+1}}{F_{i-1}F_i} \end{align} $$

از اینجا ثابت میکنیم که :

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{F_i} = 2 + \sum_{i=3}^n \frac{1}{F_i} \le 2 + \frac{F_3}{F_1F_2} - \frac{F_{i+1}}{F_{i-1}F_i} \le 2 + \frac{2}{1\cdot 1} = 4$$

دنباله $a_n$ از بالا کراندار است و میدانیم که دنباله صعودی از بالا کراندار همگراست بنابراین دنباله $a_n$ همگراست .

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط saderi7

اولا $ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac{ F_{n+1} }{ F_{n} }= \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} $ که اثباتش برعهده خودتون. ثانیا بنابه آزمون دالامبر برای اینکه ببینیم سری همگراست یا نه باید ببینیم حد$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac{ \dfrac{1}{F_{n+1}} }{ \dfrac{1}{F_{n}} } $ چی میشه که بنا به اولا میشه $ \dfrac{2}{1+ \sqrt{5} } < 1$ پس سری همگراست و بنابراین دنباله موردنظر همگراست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2396
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673855
...