به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
72 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mansoormahabadi

فرض کنید f یک تابع حقیقی پیوسته بر (a,b) باشد به طوری که به ازای هر x و y در (a,b) داشته باشیم $$f( \frac{x+y}{2}) \leq \frac{1}{2}(f(x)+f(y)) $$ ثابت کنید f محدب است.(اگر پیوستگی از مفروضات حذف شود نتیجه درست نیست)

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

رابطه ای که نوشتین به تحدب ینسن معروفه به راحتی به استقراء داریم

$$ f( \frac{ x_{1} +...+ x_{ 2^{k} } }{ 2^{k} } ) \leq \frac{f( x_{1} )+...+f( x_{ 2^{k} }) }{ 2^{k} } $$

که برای هر $k \in N $ و $ x_{1} ,..., x_{ 2^{k} } \in (a,b) $ برقراره. حالا $x,y \in (a,b)$ و $ \alpha \in (0,1)$ درنظر میگیریم. $ \alpha $ رو میتونیم به صورت بسط دودویی بنویسیم که میشه

$$ \alpha = \frac{ \alpha _{1} }{2} + \frac{ \alpha _{2} }{ 2^{k} } +...+ \frac{ \alpha _{k} }{ 2^{k} } +...$$

که $ \alpha _{i} \in \lbrace 0,1\rbrace $. حالا قرار میدیم

$$ \alpha ^{(k)} = \frac{ \alpha _{1} }{2} + \frac{ \alpha _{2} }{ 2^{k} } +...+ \frac{ \alpha _{k} }{ 2^{k} }= \frac{ \alpha _{1} 2^{k-1} +...+ \alpha _{k} }{ 2^{k} }= \frac{ \beta _{k} }{2^{k}} $$

داریم $ \lim_{k \rightarrow \infty } \alpha ^{(k)}= \alpha , 1- \alpha ^{(k)}= \frac{2^{k}- \beta _{k} }{2^{k}} $. حالا تو رابطه ای که گفتم به استقراء برقراره قرار میدیم

$$ x_{1} =...= x_{ \beta _{k} } =x , x_{ \beta _{k} +1} +...+ x_{2^{k}} =y$$

داریم $$f( \alpha ^{(k)}x+(1- \alpha ^{(k)})y)=f( \frac{( \beta _{k}+(2^{k} - \beta _{k})}{2^{k}}) \leq \frac{( \beta _{k}f(x)+(2^{k} - \beta _{k})f(y))}{2^{k}}= \alpha _{k}f(x)+(1- \alpha _{k})f(y) $$

حالا اگه حد بگیریم و از پیوستگی تابع استفاده کنیم نتیجه میشه که

$$f( \alpha x+(1- \alpha )y) \leq \alpha f(x)+(1- \alpha )f(y)$$

این یعنی تابع محدبه.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...