چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Traid

فرض کنید $a_n$ دنباله ایی از اعدادحقیقی باشد و داشته باشیم برای هر $n \in \mathbb{N}$ :

$$\sum_{i=1}^na_i=\prod_{i=1}^na_i$$

انگاه حاصل حد زیر چیست ؟

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

تلاش من :

$$S_n + a_{n+1} = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) + a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k = \prod_{k=1}^{n+1} a_k = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right) a_{n+1} = S_n a_{n+1}$$

پس رابطه زیر را بدست اوردیم :

$$S_n+a_{n+1}=S_na_{n+1}$$

حالا باید چکار کنم ؟ ممنون میشم کمک کنید .

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط Traid
 
بهترین پاسخ

رابطه را به صورت زیر مینویسیم :

$$S_{n-1}+a_{n}=S_{n-1}a_{n}$$ $$a_{n}=1+\dfrac{1}{S_{n-1}-1} : n \geq 2 \ \ a_1=a \in\mathbb{R}$$
$$ \text{case 1} :S_1=a_1=a > 1 \\ a_2=1+\dfrac{1}{S_1-1} > 1 \\a_3=1+\dfrac{1}{S_2-1} > 1\\.\\.\\. \\ a_n=1+\dfrac{1}{S_{n-1}-1} > 1$$

نتیجه میگیریم که :

$$S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1} > n-1$$ $$S_{n-1}-1 > n-2 \Rightarrow \dfrac{1}{S_{n-1}-1} < \dfrac{1}{n-2}\\ 1+\dfrac{1}{S_{n-1}-1} < \dfrac{1}{n-2}+1 \\ 1 < a_{n} < \dfrac{1}{n-2}+1 $$

حال طبق قضیه ساندویچ داریم :

$$\lim_{n}1=1=\lim_{n} \dfrac{1}{n-2}+1 \Rightarrow \lim_{n}a_n=1$$
$$ \text{case 2} :S_1=a_1=a < 1 \\ S_2=\dfrac{S_1^2}{S_1-1} \leq 0 \\S_3=\dfrac{S_2^2}{S_{2}-1} \leq 0 \\.\\.\\. \\ S_n=a_1+...+a_{n-1}+a_n=S_{n-1}+\dfrac{S_{n-1}}{S_{n-1}-1}=\dfrac{S_{n-1}^2}{S_{n-1}-1} \leq 0 : n\geq 2$$

حال تابع $f$ را باضابطه ی زیر تعریف میکنیم :

$$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1} \ \ : x \leq 0$$ که ثابت میشود تابع صعودی است در نتیجه $S_n$ دنباله ای صعودی برای $n\geq3$ است . و میدانیم که تابع صعودی و کراندار همگراست در نتیجه خواهیم داشت :

$$\lim_{n}S_n=\lim_{n}S_{n-1}=l$$ $$\lim_{n}S_n=\lim_{n} \dfrac{S_{n-1}^2}{S_{n-1}-1}\\l=\dfrac{l^2}{l-1} \Rightarrow l=0$$

در نتیجه حاصل حد برابر است با :

$$\lim_{n} a_n=\lim_{n}(S_n-S_{n-1})=0-0=0$$
$$\text{case 3} : a_1=1$$

با توجه به رابطه بدست امده اگر جمله ی اول برابر یک باشد انگاه $a_n$ دنباله نیست .

$$S_{1}+a_{2}=S_{1}a_{2} \Rightarrow 1+a_2\neq a_2 $$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

اگه $ S_{n} $ همگرا باشه اونوقت $ \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} - S_{n-1} =0$.

اگه $ S_{n} $ واگرا باشه یعنی $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \infty $ اونوقت طبق رابطه ای که به دست آوردین داریم

$$S_{n-1}+a_{n}=S_{n-1}a_{n}$$

و بنابراین

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ a_{n} -1}{ a_{n} }= \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{ S_{n-1} } =0 $$

پس

$$ \lim_{n \rightarrow \infty }a_{n} =1$$.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
71 نفر آنلاین
1 عضو و 70 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2119
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4488986
...