به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
541 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط AliPirasteh
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

چند زوج مرتب از اعداد حقیقی در دستگاه زیر صدق می کند؟

$$ \begin{cases}y^2+x=yx^2 \\ x^2+y=xy^2 \end{cases}$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

چرا از قیافهٔ پرسش ترسیده‌اید؟ هیچ نکته‌ای که بگوئیم پرسش خاصی است دیده نمی‌شود. تنها موردی که می‌توان فهمید این است که پرسش را به امان خدا رها کرده‌اید.

برابری یکم را در $y$ و برابری دوم را در $x$ ضرب کنید. بالأخره باید به یک شکلی از شر برخی عبارات دستگاه بتوانید خلاص شوید تا آن را حل کنید، سریع‌ترین ایده این است که سمت راست دو برابری را یکسان کنیم. پس از ضرب‌های گفته شده سمت راست هر دو برابری یکسان می‌شود پس سمت‌های چپ‌شان را برابر هم می‌گذاریم. از شانس خوبمان $xy$ هم در هر دو تکراری است و خط زده می‌شود پس داریم $x^3=y^3$ اما این هم‌ارز است با اینکه $x=y$ (توجه کنید که توان فرد است و تنها ریشه‌های حقیقی مد نظر است و دو ریشهٔ مختلط دیگر مد نظر نخواهند بود پس یک به یکی داریم و راحت $x=y$ برداشته می‌شود). اکنون این یافته را در یکی از دو برابریِ دستگاه به دلخواه قرار دهید. در هر کدام که قرار دهید بر حسب $x$ یا $y$، به برابری زیر می‌رسید: $$x^2+x=x^3\Longrightarrow x(x^2-x-1)=0\Longrightarrow x=0,\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ پس سه پاسخ داریم که درازای و پهنایشان (طول و عرضشان) برابر هم و یکی از سه عدد یافت‌شدهٔ بالا می‌باشند.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
50 نفر آنلاین
0 عضو و 50 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4364
بازدید دیروز: 4974
بازدید کل: 4852819
...