به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
198 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ پیوسته و کراندار باشد . ثابت کنید $ \parallel f \parallel _{ \infty } = \parallel f \parallel $

که در آن $ \|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $ و $ \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f | \leq \alpha(a.e) \big\} $

دارای دیدگاه توسط admin
+1
در قسمت عنوان و دیدگاه اگر فرمول ریاضی مینویسید باید فقط از دو علامت دلار استفاده کنید و دیگه <math> رو بردارید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
منظورتونو از هر کدوم از نرم ها بنویسید لطفا.
$||.||_\infty$همون essential sup. هست؟ و منظورتون از $||f||=\sup\{|f(x)|:x\in \mathbb R\}$?
دارای دیدگاه توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina
+1
می دانیم منظور از $\|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $و
$  \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f |  \leq  \alpha(a.e) \big\}   $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

از آنجا که $ |f(x)|\leq \|f\| $ به ازای هر $x\in\mathbb R $ لذا واضح است که $\|f\|_\infty\leq \|f\| $

حال باید نشان دهیم $\|f\|\leq \|f\|_\infty $ :

به برهان خلف فرض کنیم $ \|f\|_\infty < \|f\|$ در اینصورت یک عدد حقیقی $$\|f\|_\infty < a< \|f\| \tag{1}\label{1}$$ وجود دارد. اما بنابر تعریف $ \sup $ نقطه ی $ x_0\in\mathbb R $ وجود دارد که $a< f(x_0)< \|f\| $ حال اگر تعریف پیوستگی برای نقطه ی $ x_0 $ و $ \epsilon=f(x_0)-a> 0 $ بنویسیم در اینصورت $ \delta>0 $ هست که برای $ |x-x_0|< \delta$ داریم: $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon $ یعنی در این فاصله $\delta $ همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم $ f(x)>a $ که این هم ایجاب می کند $ \|f\|_\infty\geq a $ که با $ \eqref{1} $ در تناقض است.

دارای دیدگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina
+1
لطف میکنید جمله
"یعنی در این فاصله $\delta$همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم$ f(x)>a$ که این هم ایجاب می کند $\|f\|_\infty\geq a$  "

را بیشتر توضیح دهید. تشکر
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
از امکان تایپ ریاضی اینجا استفاده کنید قشنگتره.
خوب جمله اول که واضحه. در اون همسایگی $|x-x_0|< \delta$ داریم $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon=f(x_0)-a$ و لذا از خاصیت قدرمطلق داریم
$-\epsilon=a-f(x_0)< f(x)-f(x_0)< \epsilon$ از نامساوی سمت چپ نتیجه میشه روی اون دلتا همسایگی $f(x)> a$ .  حالا از تعریف نرم $\|f\|_\infty$ چون  $ f $ روی یک مجموعه با اندازه مثبت( همون دلتاهمسایگی) بزرگتر از  $ a $  هست پس باید $\|f\|_\infty\geq a$. (اگه  $ \|f\|_\infty< a $ به تناقض می رسیم)
دارای دیدگاه توسط بی نام
+1
در واقع چون برای هر x داریم f(x)>0 پس باید نرم f در بینهایت هم بزرگتر از صفر باشد.
درسته؟
ببخشید برای تایپ فرمولها در دیدگاه فرمول نویس مشاهده نمیشود. باید عضو بشم؟
دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm
+1
در قسمت دیدگاه باید فرمول رو بین دو تا دلار بذارید و بنویسید. میتونید در قسمت سوال یا جواب بنویسید بعد اینجا کپی کنید.
اونی هم که نوشتید نمیدونم چه ارتباطی با موضوع بحث ما داشت؟ نرم همیشه بزرگتر از صفر هست که.
من گفتم چون روی یک مجموعه با اندازه ی مثبت داریم $f(x)\geq a$ بنابراین $\|f\|_\infty\geq a$ .
دلیل این هم به تعریف $\|f\|_\infty$ برمیگرده که به صورت $\|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ a.e.\}$ هست. اگر قرار باشه $\|f\|_\infty< a$ باشد آنگاه چون $|f|\leq \|f\|_\infty$ تقریبا همه جا با اینکه $|f|\geq  a$ روی دلتا همسایگی که اندازه اش مثبت است در تناقض می شود.
دارای دیدگاه توسط behruz
+1
بسیار ممنون. توضیحات کامل بود متوجه شدم تشکر از زحماتتون
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2218
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007870
...