به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
658 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

با سلام لطفا روش ایتکن را به زبان ساده توضیح دهید.

مرجع: مبانی آنالیز عددی
دارای دیدگاه توسط admin
+1
لطفا قبل از ارسال سوال قسمت راهنمای سایت را مطالعه فرمایید.
راهنمایی های مربوط به قسمت پرسش:
2. از مطرح کردن چه نوع پرسش هایی باید اجتناب کرد؟
از پرسیدن پرسش هایی کلی مثل " مشتق را توضیح دهید" پرهیز کنید. چون مطمئنا کاربران نمی توانند اینجا کتاب بنویسند!
مطمئنا شما در مورد قسمتی از این روش سوال دارید. لطفا با تمام جزییات سوالتونو توضیح بدید و دقیقا به مشکلی که دارید اشاره کنید.
ممنون.

2 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط erfanm

روش ایتکن برای محاسبه ریشه یک تابع: فرض کنیم تابع پیوسته و مشتق‌پذیر $g(x)$ از بازه $[a,b]$ به توی $[a,b]$ باشد آن‌گاه معادله $x-g(x)=0$ دارای ریشه $c$ می‌باشد. روش ایتکن که به صورت خطی و معمولا بسیار کند به ریشه همگراست را به صورت زیر بیان می‌کنند:

فرض می‌شود $|g'(c)|<1$ باشد، با $x_0 \in [a,b]$ شروع می‌کنیم و دنباله‌ای از $ \widehat{x_n} $ را می‌سازیم که نهایتا به $c$ همگرا می‌باشند.

1:$n=1$

2: قرار می‌دهیم: $x_1:=g(x_0)$ و $x_2:=g(x_1)$

3: $ \widehat{x_n}=x_2- \frac{(x_2 -x_1 )^2}{(x_2-x_1)-(x_1-x_0)} $

4: اگر $| \widehat{x_n}-x_2 |<\varepsilon $ آنگاه
$c=\widehat{x_n}$ و ریشه با خطای $\varepsilon$ محاسبه شد و الگوریتم خاتمه یافت.

5: $x_0=\widehat{x_n}$ قرار داده و به مرحله 2 برگرد.

برای مطالعه بیش‌تر می‌توان به اتکینسن مراجعه کرد.

دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا یک مثال با راه حل از روش ایتکن بیاورید.
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

بعنوان مثال اگر بخواهیم جواب معادله ی $ x-cosx=0$ را در بازه ی $[0,1] $ وباروش نقطه ثابت با نقطه ی شروع $ x_{0} =0.5 $ و استفاده از $ x_{k+1}=g( x_{k} )=cos( x_{k} ) $ را با تقریب $5$رقم اعشار بیابیم نقاط زیر را داریم:

$ x_{1} =0.87758 $ $ x_{2} =0.63901 $ $ x_{3} =0.80269 $ $ x_{4} =0.69478 $ $ x_{5} =0.76820 $ $ x_{6} =0.71917 $

حال همین نقاط را بکار میبریم و از روش ایتکن استفاده میکنیم تا سرعت همگرایی را افزایش دهیم: برای نقاط $ x_{0} =0.5 $ و $ x_{1} =0.87758 $ و $ x_{2} =0.63901 $ تمام محاسبات رو مینویسم و بقیه بطور مشابه محاسبه میشوند.

فرمول کلی بصورت $ \widehat{x_n}=x_2- \frac{(x_{n+1} -x_n )^2}{(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n)} $ است.لذا: $$ \widehat{x_0}=x_0- \frac{(x_1 -x_0 )^2}{(x_2-2x_1+x_0)} =0.5- \frac{(0.87758 -0.5 )^2}{(0.63901-2 \times 0.87758+0.5)}= 0.5- \frac{0.1425667}{-0.61615} =0.5+0.2313831=0.7313831 \sim 0.73139$$

و

$$ \widehat{x_1}=x_1- \frac{(x_2 -x_1 )^2}{(x_3-2x_2+x_1)} =0.87758 - \frac{(0.63901 -0.87758 )^2}{(0.80269-2 \times 0.63901+0.87758 )}= 0.87758 - \frac{0.0569156}{0.40225} =0.87758 - 0.1414931=0.7360869 \sim 0.73609$$

و بطور مشابه

$\widehat{x_{1} }=0.73609 $ $\widehat{x_{2} }=0.73765 $ $ \widehat{x_{3} } =0.73847 $ $ \widehat{x_{4} }=0.73880 $

همانطور که مشاهده میشود سرعت همگرایی افزایش یافته است.

جواب صحیح با دقت $5$رقم اعشار برابر $ 0.73908 $ است.

البته همانطور که آقای محمدی بیان کردند( الگوریتمی که نوشتند) اگر جواب $ \widehat{x_0} $ را در الگوریتم نقطه ثابت جایگذاری کنیم و دو نقطه ی بعدی را بیابیم(بعنوان
$ x_1$ و $ x_2 $ ) و دوباره از الگوریتم ایتکن استفاده کنیم و$ \widehat{x_0} $ جدید را بیابیم سرعت همگرایی باز بیشتر می شود.

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina
+1
خیلی ممنون بسیار مفید بود
دارای دیدگاه توسط erfanm
خواهش میکنم موفق باشید.
سوال شده آذر ۲۴, ۱۳۹۳ در دانشگاه توسط مژده
ویرایش شده آذر ۲۴, ۱۳۹۳ توسط admin
+2 امتیاز
مرتبه همگرایی روش ایتکن
دارای دیدگاه توسط reyhan
ببخشید میشه توضیح مختصری در مورد روش ایتکن  بدین ؟ و اینکه کجاها کاربرد داره؟
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...