چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
56 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط zh

$ 1393 $ لامپ داریم که همه در حالت اولیه خاموش هستند. این لامپ ها را از $ 1$ تا $ 1393 $ شماره گذاری می کنیم. برای هر عدد صحیح و مثبت $ k $ ، سوئیچ $ p_{k} $ وضعیت خاموش و روشن لامپ هایی که شماره آنها مضربی از $ k $ است را عوض می کند. سوئیچ های $ p_{1} , p_{2} ,..., p_{1393} $ را متوالیا می زنیم. در آخر چند لامپ روشن می ماند؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

میدانیم هر عدد مانند $ n $ تجزیه ای بصورت $n= p_{1} ^{ a_{1} } p_{2} ^{ a_{2} }... p_{t} ^{ a_{t} } $ دارد و تعداد مقسوم علیه های آن برابر $( a_{1}+1)( a_{2}+1)...( a_{t}+1) $ است.

طبق فرض سوال به ازای هر مقسوم علیه $ n $ حالت لامپ شماره $ n $ یکبار تغییر می کند و اگر تعداد نهایی این تغییر هافرد باشد آنگاه چراغ در نهایت روشن میماند(اول روشن، دوم خاموش، سوم روشن و....) لذا باید تعداد مقسوم علیه ها فرد باشد و این زمانی ممکن است که تمام توانها زوج باشند(اگر حتی یکی از آنها فرد باشد با $1$ جمع شده و مضرب $2$ یا همون عدد زوج را تولید میکند)

پس باید تعداد اعدادی رو بیابیم که در تجزیه ی آنها تواهای زوجی از اعداد اول وجود دارند.

یعنی داشته باشیم: $$n=p_{1} ^{ 2b_{1} } p_{2} ^{ 2b_{2} }... p_{t} ^{ 2b_{t} } \Rightarrow n= (p_{1} ^{ b_{1} } p_{2} ^{ b_{2} }... p_{t} ^{ b_{t} } )^{2} $$

پس باید دنبال اعدادی بگردیم که توان دوم آنها از $1393$ کمتر باشند پس باید پایه از $38 $ کمتر باشد و تعداد این اعداد $37 $ است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3265
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712406
...