به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

$ 1393 $ لامپ داریم که همه در حالت اولیه خاموش هستند. این لامپ ها را از $ 1$ تا $ 1393 $ شماره گذاری می کنیم. برای هر عدد صحیح و مثبت $ k $ ، سوئیچ $ p_{k} $ وضعیت خاموش و روشن لامپ هایی که شماره آنها مضربی از $ k $ است را عوض می کند. سوئیچ های $ p_{1} , p_{2} ,..., p_{1393} $ را متوالیا می زنیم. در آخر چند لامپ روشن می ماند؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

میدانیم هر عدد مانند $ n $ تجزیه ای بصورت $n= p_{1} ^{ a_{1} } p_{2} ^{ a_{2} }... p_{t} ^{ a_{t} } $ دارد و تعداد مقسوم علیه های آن برابر $( a_{1}+1)( a_{2}+1)...( a_{t}+1) $ است.

طبق فرض سوال به ازای هر مقسوم علیه $ n $ حالت لامپ شماره $ n $ یکبار تغییر می کند و اگر تعداد نهایی این تغییر هافرد باشد آنگاه چراغ در نهایت روشن میماند(اول روشن، دوم خاموش، سوم روشن و....) لذا باید تعداد مقسوم علیه ها فرد باشد و این زمانی ممکن است که تمام توانها زوج باشند(اگر حتی یکی از آنها فرد باشد با $1$ جمع شده و مضرب $2$ یا همون عدد زوج را تولید میکند)

پس باید تعداد اعدادی رو بیابیم که در تجزیه ی آنها تواهای زوجی از اعداد اول وجود دارند.

یعنی داشته باشیم: $$n=p_{1} ^{ 2b_{1} } p_{2} ^{ 2b_{2} }... p_{t} ^{ 2b_{t} } \Rightarrow n= (p_{1} ^{ b_{1} } p_{2} ^{ b_{2} }... p_{t} ^{ b_{t} } )^{2} $$

پس باید دنبال اعدادی بگردیم که توان دوم آنها از $1393$ کمتر باشند پس باید پایه از $38 $ کمتر باشد و تعداد این اعداد $37 $ است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...