به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
94 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط علیرضا
ویرایش شده توسط admin

فرض کنید$ \|.\| $ یک نرم ماتریسی القایی(طبیعی) باشد. منظور از $\rho(a)$ شعاع طیفی ماتریس $A$ می باشد. ثابت کنید $$\lim_{n\to \infty}\|A^n\|^{\frac 1n}=\rho(A)$$

مرجع: جبرخطی عددی ویلیام فورد
دارای دیدگاه توسط admin
+1
تلاشی برای حل مساله کردین؟
بهتر بود سوال رو در خود سایت تایپ میکردید. چه نیازی به عکس بود. عنوان نامناسب نوشتید. عنوان باید همان خلاصه سوال باشد نه این چیزی که نوشتید.
دارای دیدگاه توسط mohsenmoradi
–1
@adminسلام ببخشید میشه این سوال رو به دوستان بگید من فردا پایان نامه دارم مشکلم راه حل این سوال اصلا نمیتونم پیداش کنم
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@mohsenmoradi @علیرضا شما دو شناسهٔ کاربری دارید؟ تایپ کردن متن پرسش‌تان در بدترین حالت چند دقیقه بیشتر طول نمی‌کشد.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
انتخاب شده توسط علیرضا
 
بهترین پاسخ

اول از همه می دانیم

قضیه

$$A \in C^{n \times n}, \lim_{k \rightarrow \infty } A^{k}=0 \Longleftrightarrow \rho (A)< 1 $$

نکته بعدی اینه که

$$ A \in C^{n \times n}, \rho (A) \leq \mid \mid A \mid \mid $$

همچنین بدیهیه که

$$ \rho (A)^{k}= \rho ( A^{k} ) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid $$

حالا با توجه به اینا داریم

$$ \rho (A) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } $$

حالا طبق تعریف شعاع طیفی بدیهیه که برای هر $ \epsilon >0$ داریم $ \rho ( \frac{A}{ \rho (A)+ \epsilon } ) < 1$ پس بنا به قضیه ای که یادآوری کردیم داریم

$$ \lim_{k \rightarrow \infty } ( \frac{A}{ \rho (A)+ \epsilon } )^{k}=0 \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty } \frac{ \mid \mid A^{k} \mid \mid}{ (\rho (A)+ \epsilon)^{k} }=0 $$

پس بنا به تعریف حد وجود دارد $M \in N $ به طوریکه برای همه ی $k \geq M$ داریم $\frac{ \mid \mid A^{k} \mid \mid}{ (\rho (A)+ \epsilon)^{k} } < 1$

یعنی برای $k \geq M$ داریم $ \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } < \rho (A)+ \epsilon $ پس برای $k \geq M$ داریم

$$ \rho (A) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } \leq \rho (A)+ \epsilon $$

چون این رابطه برای هر $ \epsilon >0$ برقراره پس

$$ \lim_{k \rightarrow \infty } \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} }=\rho (A) $$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
53 نفر آنلاین
1 عضو و 52 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4505
بازدید دیروز: 4974
بازدید کل: 4852960
...