به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
114 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $ S= \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{3^{2}} +...+ \frac{1}{ 1393^{2} } $ باشد. کدام یک از گزینه های زیر صحیح است؟

  1. $ 1 \leq S < \frac{4}{3} $
  2. $ \frac{4}{3} \leq S < \frac{7}{3} $
  3. $ 2 \leq S < \frac{7}{3} $
  4. $ \frac{7}{3} \leq S < \frac{5}{2} $

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که برای هر $n \geq 2 $ داریم: $$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \frac{1}{n-1} \Rightarrow \frac{1}{n} \times \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1} $$ حال با سیگما گیری داریم: $$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} $$ عبارت های کناری را حساب می کنیم داریم:(از سری تلسکوپی) $$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} )=\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} =\frac{698}{1394} $$ برای عبارت آخر هم داریم:

$$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} )=\frac{1}{2-1} -\frac{1}{1393} $$ اگر به طرفین $1$ اضافه کنیم عبارت وسطی برابر $S$ میشود لذا داریم:

$$1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } +...+ \frac{1}{ 1393^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} < S < 1+1-\frac{1}{1393} < 2$$ پس گزینه های $ 3,4$ غلط هستند نشان می دهیم $ S $ از $ \frac{4}{3} $ بزرگتر است پس گزینه ی $ 2$ جواب صحیح خواهد بود. $$ \frac{1}{1394} < \frac{3}{4} \\ \Rightarrow -\frac{3}{4} < -\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2}-\frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow \frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...