چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
107 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $ S= \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{3^{2}} +...+ \frac{1}{ 1393^{2} } $ باشد. کدام یک از گزینه های زیر صحیح است؟

  1. $ 1 \leq S < \frac{4}{3} $
  2. $ \frac{4}{3} \leq S < \frac{7}{3} $
  3. $ 2 \leq S < \frac{7}{3} $
  4. $ \frac{7}{3} \leq S < \frac{5}{2} $

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که برای هر $n \geq 2 $ داریم: $$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \frac{1}{n-1} \Rightarrow \frac{1}{n} \times \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1} $$ حال با سیگما گیری داریم: $$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} $$ عبارت های کناری را حساب می کنیم داریم:(از سری تلسکوپی) $$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} )=\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} =\frac{698}{1394} $$ برای عبارت آخر هم داریم:

$$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} )=\frac{1}{2-1} -\frac{1}{1393} $$ اگر به طرفین $1$ اضافه کنیم عبارت وسطی برابر $S$ میشود لذا داریم:

$$1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } +...+ \frac{1}{ 1393^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} < S < 1+1-\frac{1}{1393} < 2$$ پس گزینه های $ 3,4$ غلط هستند نشان می دهیم $ S $ از $ \frac{4}{3} $ بزرگتر است پس گزینه ی $ 2$ جواب صحیح خواهد بود. $$ \frac{1}{1394} < \frac{3}{4} \\ \Rightarrow -\frac{3}{4} < -\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2}-\frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow \frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
36 نفر آنلاین
0 عضو و 36 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 787
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709929
...