چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
44 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط bahars
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید هر زیر فضای توپولوژیکی از یک فضای هاسدورف نیز هاسدورف است همینطور هر حاصلضرب متناهی از فضاهای هاسدورف نیز هاسدورف است

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $(X,\mathcal A)$ فضای توپولوژیک هاسدورف باشد و $Y\subset X$ در اینصورت توپولوژی زیرفضایی روی $Y$ به صورت $\{A\cap Y:A\in\mathcal A\}$ تعریف می شود.

پس اگر $x\neq y$ در $Y$ باشند در اینصورت در $X$هستند و از هاسدورف بودن $X$ مجموعه های باز $U,V\in \mathcal A$ هستندکه $x\in U$ و $y\in V$ که $U\cap V=\emptyset$. حالا میتونید ادامه بدید؟

در مورد سوال دوم هم نه تنها برای تعداد متناای که برای تعداد نامتناهی نیز برقرار است. اگر $(x_i),(y_i)\in \prod_{i\in I} X_i$ دو عضو مجزا باشند انگاه برای $i_0$ ی داریم $x_{i_0}\neq y_{i_0}$ و چون $X_{i_0}$ هاسدورف است لذا مجموعه های باز $U,V\subset X_{i_0}$ وجود دارند که $x_{i_0}\in U$ و $y_{i_0}\in V$ و $U\cap V=\emptyset$ در اینصورت کافی است مجموعه های باز $\prod U_i,\prod V_i$ را در نظر بگیریم که $U_i=X_i, V_i=X_i$ بجز برای اندیس $i_0$ که $U_{i_0}=U,V_{i_0}=V$. چرا؟

دارای دیدگاه توسط bahars
از شما بینهایت سپاسگزارم
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
31 نفر آنلاین
0 عضو و 31 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 10238
بازدید دیروز: 12143
بازدید کل: 3881988
...