به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
74 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mehrabiA

فرض کنید $x_1 > 0 ,x_0 > 0$ باشد و همچنین $x_{n+1}=\sqrt{x_n}+\sqrt{x_{n-1}}$ آنگاه حاصل حد زیر را پیدا کنید :

$\lim_{n \to \infty}=?$

با تشکر .

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
منظورتان دنباله است نه تابع! در فرمول حد دار هم حد هیچی منظورتان نیست! $x_n$ را جا انداخته‌اید. واژه‌ها و علامت‌ها در ریاضی معنا دارند با اشتباه نوشتن یا جا انداختن آنها می‌توانید گزاره‌ای بی‌معنا یا نادرست یا متفاوت داشته باشید!

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

چون حد دنباله را خواسته‌اند پس فرض بر این است که دنباله حد داشته‌باشد. حد یک دنباله در صورت وجود یکتاست و تمام زیردنباله‌هایش نیز دارای حد و همگرا به حد دنبالهٔ اصلی خواهند شد. پس اگر زیردنبالهٔ حاصل از رها کردن فقط جملهٔ یکم یا دو جملهٔ نخست را نیز در نظر بگیریم آن دو نیز به همان حد دنبالهٔ اصلی همگرا می‌شوند. پس اگر حد دنبالهٔ اصلی را $\ell$ نمایش دهیم آنگاه با حد گرفتن از طرفین رابطهٔ داده شده داریم: $$\ell=\sqrt{\ell}+\sqrt{\ell}\Longrightarrow \ell^2-2\ell=0\Longrightarrow \ell(\ell-2)=0$$ پس حد دنباله یا صفر است یا دو. اکنون از فرض‌هایی که هنوز استفاده نکرده بودیم یعنی دانستن اینکه دو جملهٔ نخست دنباله مثبت هستند استفاده می‌کنیم. با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم که هر جملهٔ دنباله مثبت است و در نتیجه حد دنباله نیز باید مثبت باشد. گام آغاز استقرا چون $x_1$ و $x_2$ هر دو مثبت هستند (من اندیس‌هایم را از یک شروع کردم پس با اندیس‌گذاری شما فقط کافیست اندیس‌ها را یکی پس (عقب) بکشید) پس جذرهایشان ناصفر و در نتیجه $x_2$ جمع دو مقدار مثبت است که مثبت می‌شود. اکنون فرض کنیم $x_{n-2}$ و $x_{n-1}$ مثبت باشند باید ثابت کنیم که $x_n$ نیز مثبت است. که این نیز همسان گام آغازین استقرا انجام می‌شود. در نتیجه $\ell=2$.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1306
بازدید دیروز: 5435
بازدید کل: 4834418
...