به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
53 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط yedost

علی از نقطه $ A=\binom{3}{-4}$ شروع به حرکت میکند و میخواهد به نقطه $B= \binom{23}{-46} $ برود.علی تنها موازی محور طول ها یا عرض ها می تواند حرکت کند. اگر اندازه هر حرکت او نصف حرکت بعدی خودش باشد، او پس از 5 حرکت از نقطه A به B خواهد رسید. او پس از 3 حرکت به چه نقطه ای می رسد؟

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro
ویرایش شده توسط Mahdimoro

فرض کنید طول حرکت ها به صورت زیر هستند: $$k, 2k, 4k, 8k, 16k$$ روی محور طول ها ما از $3$ به $23$ و روی محور عرض ها از $-4$ به $-46$ رسیده ایم. حال چون زوجیت خانه های مبدا و مقصد در هر کدام از محورها یکسان است $k$ نمیتواند فرد باشد. همچنین چون روی محور عرض $-4$ و $-46$ به به پیمانه ی $4$ یکسان نیستند، میتوان بررسی کرد که $k$ مضرب $4$ نیست. پس $k$ به فرم $4t+2$ است.

اکنون ثابت میکنم که $k$ بر هیچ یک از اعداد اول فرد به غیر از 5 بخشپذیر نیست. میتوانید بررسی کنید که 3 و 23 به پیمانه ی هیچ یک از اعداد اول به غیر از 2 و 5 برابر نیستند(برای اثبات باید توجه کنید که 3 و 23 به پیمانه ی اعداد اول بزرگتر از 23 بدیهتا هم نهشت نیستند چون خود اعداد 2 و 23 اولند. اعداد کوچکتر از 23 را نیز بررسی کنید).

پس $k$ نمیتواند بر هیچ عدد اولی به غیر از اعداد 2 و 5 بخشپذیر باشد. همچنین میدانیم $k$ به فرم $4t+2$ است. پس $k$ برابر 2 است یا مضرب 5 است.

اگر $k$ بر 5 بخش پذیر باشد میتوان ثابت کرد روی محور عرض نمیتوان به $-46$ رسید(اثبات با در نظر گرفتن هم نهشتی به پیمانه ی 10 . چراکه $k$ هم مضرب 5 است هم زوج است). پس $k=2$. با کمی بررسی میتوان فهمید که حرکت ها به صورت زیر هستند:

$$A= \binom{3}{-4} $$ $$A_1= \binom{3}{-6} $$ $$A_2= \binom{7}{-6} $$ $$A_3= \binom{7}{-14} $$ $$A_4= \binom{23}{-14} $$ $$B= \binom{23}{-46} $$

بنابراین پس از سومین حرکت در خانه ی $A_3= \binom{7}{-14}$ هستیم.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...