به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
147 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

در مثلث $ ABC$ داریم $ \hat{BAC}=40 $ و $ AB=10, AC=6 $ . نقاط
$E,D$ به ترتیب روی $ AB $ و $ AC $ قرار دارند. کمترین مقدار $ BE+DE+CD $ برابر است با

  1. $ 6 \sqrt{3} +3$
  2. $ \frac{27}{2} $
  3. $ 8 \sqrt{3} $
  4. $ 14 $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط admin

enter image description here

برای حل سوال از $ B $ بر $ AC $ عمودی رسم کرده به اندازه ی خودش امتداد میدهیم یعنی $ BQ=QF $ با استفاده از همنهشتی به سادگی میتوان ثابت کرد که $ FE=BE$ و بطور مشابه $GD=CD $ است.

پس داریم: $ BE+ED+CD=EF+ED+DG $

enter image description here

حال اگر از $ F $ به $ D$ وصل کنیم از نامساوی مثلث خواهیم داشت:

$$ FD < FE+ED $$ حال اگر از $ F$ به $ D$ وصل کنیم طبق نامساوی مثلث برای $FDG $ خواهیم داشت: $$ FG < FD+DG $$ لذا با ترکیب این دو خواهیم داشت: $$ FG < FD+DG < FE+ED +DG =BE+ED+CD$$

$ FG$که یک مقدار ثابت است یک کران پایین برای $ BE+ED+CD $ است و اگر خطی که $ F$ را به $ G $ وصل میکند را رسم کنیم و نقاط برخورد با اضلاع را $ E $ و $ D $ بنامیم آنگاه مقدار $ BE+ED+CD $ برابر طول $ FG$ میشود. یعنی کمترین مقدار زمانی است که $ F,E,D,G $ در یک خط قرار گیرند.

حال با توجه به آنچه در اول گفته شد(شکل اول) داریم $ AC=AG=6$ و $ AF=AB+10 $ و زاویه ی $ \widehat{FAG} $ برابر $ 120$ است و با در نظر گرفتن مثلث $ AFG $ و قانون کسینوس ها داریم: $$\begin{align}FG&= \sqrt{ 10^{2} + 6^{2} -120cos(120)} \\ &= \sqrt{136+120 \times \frac{1}{2} } \\ &= \sqrt{196}\\ &=14\end{align} $$

دارای دیدگاه توسط erfanm
بخاطر شکل نادرستی که برای مثلث اولیه رسم کردم معذرت میخوام.
چون شکل اولیه ی مثلث اشتباه رسم شده نقاط بد قرار گرفته اند برای درک بهتر جواب میتونید یک شکل مناسب برای خودتون بکشید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1587
بازدید دیروز: 6343
بازدید کل: 5025821
...