چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
146 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

در مثلث $ ABC$ داریم $ \hat{BAC}=40 $ و $ AB=10, AC=6 $ . نقاط
$E,D$ به ترتیب روی $ AB $ و $ AC $ قرار دارند. کمترین مقدار $ BE+DE+CD $ برابر است با

  1. $ 6 \sqrt{3} +3$
  2. $ \frac{27}{2} $
  3. $ 8 \sqrt{3} $
  4. $ 14 $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط admin

enter image description here

برای حل سوال از $ B $ بر $ AC $ عمودی رسم کرده به اندازه ی خودش امتداد میدهیم یعنی $ BQ=QF $ با استفاده از همنهشتی به سادگی میتوان ثابت کرد که $ FE=BE$ و بطور مشابه $GD=CD $ است.

پس داریم: $ BE+ED+CD=EF+ED+DG $

enter image description here

حال اگر از $ F $ به $ D$ وصل کنیم از نامساوی مثلث خواهیم داشت:

$$ FD < FE+ED $$ حال اگر از $ F$ به $ D$ وصل کنیم طبق نامساوی مثلث برای $FDG $ خواهیم داشت: $$ FG < FD+DG $$ لذا با ترکیب این دو خواهیم داشت: $$ FG < FD+DG < FE+ED +DG =BE+ED+CD$$

$ FG$که یک مقدار ثابت است یک کران پایین برای $ BE+ED+CD $ است و اگر خطی که $ F$ را به $ G $ وصل میکند را رسم کنیم و نقاط برخورد با اضلاع را $ E $ و $ D $ بنامیم آنگاه مقدار $ BE+ED+CD $ برابر طول $ FG$ میشود. یعنی کمترین مقدار زمانی است که $ F,E,D,G $ در یک خط قرار گیرند.

حال با توجه به آنچه در اول گفته شد(شکل اول) داریم $ AC=AG=6$ و $ AF=AB+10 $ و زاویه ی $ \widehat{FAG} $ برابر $ 120$ است و با در نظر گرفتن مثلث $ AFG $ و قانون کسینوس ها داریم: $$\begin{align}FG&= \sqrt{ 10^{2} + 6^{2} -120cos(120)} \\ &= \sqrt{136+120 \times \frac{1}{2} } \\ &= \sqrt{196}\\ &=14\end{align} $$

دارای دیدگاه توسط erfanm
بخاطر شکل نادرستی که برای مثلث اولیه رسم کردم معذرت میخوام.
چون شکل اولیه ی مثلث اشتباه رسم شده نقاط بد قرار گرفته اند برای درک بهتر جواب میتونید یک شکل مناسب برای خودتون بکشید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3266
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712407
...