چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
117 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

$ x $ و $ y $ دو عدد حقیقی هستند که $ x+y=6 $ و $ x^{2} + y^{2}=40 $ حاصل $ x^{6} + y^{6} $ چقدر است؟

4 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط eski
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

داریم: $ 36= 6^{2} = (x+y)^{2}= x^{2} + y ^{2} +2xy=40+2xy \rightarrow xy=-2$

بنابراین $$\begin{align} x^{4}+ y^{4} &= ( x^{2} + y^{2})^{2} -2 x^{2} \times y^{2} \\ &= 40^{2}-2\times( -2)^{2} \\ &=1600-8\\ &=1592 \end{align}$$

و از اینجا هم به دست می‌آوریم: $$\begin{align} x^{6} + y^{6}& =( x^{2} + y^{2} )( x^{4} - x^{2} \times y^{2} + y^{4} )\\ &=( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} - x^{2} \times y^{2})\\ &=40(1592-( -2^{2} ))\\ &=40\times1588\\ &=63520 \end{align}$$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh

داریم $ x^{2} + y^{2} +2xy-2xy=40 $ لذا داریم $xy=-2 $ .

$ x^{3}+ y^{3}=(x+y)( x^{2} + y^{2}-xy)=252 $ .

لذا $(x^{3}+ y^{3}) ^{2} = x^{6}+2 x^{3}y^{3}+ y^{6} =63504 $ بنابراین $ y^{6} + x^{6}=63520$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
نمایش از نو توسط admin

اولا چون $x^2+y^2=40,x+y=6 $ لذا با به توان دو رساندن طرفین داریم: $ xy=-2 $

حال اگر طرفین $ x^2+y^2=40 $ را به توان سه برسانیم داریم: $$ x^6+y^6+3(xy)^2(x^2+y^2)=(40)^3 $$

لذا از $xy=-2 $ و $x^2+y^2=40 $ خواهیم داشت: $x^6+y^6=(40)^3-12(40) $

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط admin

چون سوال حاصل $ x^{6}+ y^{6} $ رو خواسته لذا طرفین رابطه ی $ x^{2} + y^{2} =40 $ را به توان $ 3 $ میرسانیم لذا از فرمول مکعب دو جمله ای داریم:

$$ \begin{align} (x^{2} + y^{2})^{3} &= x^{6}+3x^{4} y^{2} +3x^{2} y^{4} + y^{6}\\ &=x^{6}+ y^{6} +3x^{2} y^{2}(x^{2} +y^{2} )\\ &=64000 \end{align} $$

تنها مجهول $ x^{2} y^{2} $ است که کافیه رابطه ی اول رو به توان دو برسانیم و بامقایسه با رابطه ی دوم بدست می آید که $ x^{2} y^{2}=4 $ و لذا داریم:

$x^{6}+ y^{6} +3 \times 4 \times 40=64000 $ $ x^{6}+ y^{6} =64000-480= 63520$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3326
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712467
...