به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
134 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط admin

نشان دهید در روش گاوس چیبیشف وزن ها با هم برابرند یعنی: $$w_1=w_2=...=w_n=\frac{\pi}{n} $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

با توجه به اینکه $ T_{n} =cos(n \theta ) $ و اینکه $ cos( \theta )=x $ داریم: $ T'_{n} (x)=-n sin(n \theta) \frac{d \theta }{dx}=n \frac{sin(n \theta) }{sin( \theta )} $

وزنها از فرمول زیر بدست می آیند: $$ w_{i}= \frac{ a_{n} }{ a_{n-1} } \frac{ \int_a^b w(x) (T_{i-1}(x))^{2}dx }{T_{n-1}( x_{i} ) \times T'_{n} (x_{i}) } $$

که در آن $a_{n} $ ضریب $ x^{n} $ در $ T_{n}(x) $ است. طبق پاسخ سوال انتگرال گیری به روش گاوس چبیشف حاصل انتگرال برابر $ \frac{\pi}{2} $ و ضریب $ x^{n} $ در $ T_{n}(x) $ برابر $ \frac{1}{ 2^{n-1} } $ و لذا نسبت ضرایب برابر $ 2 $ است و با جایگذاری خواهیم داشت:

$$ w_{i}= \frac{ \pi }{T_{n-1}( x_{i} ) \times T'_{n} (x_{i}) } \label{1} \tag{1}$$ برای هر $i $ دلخواه $ x_{i} $ ها ریشه های $T_{n}(x) $ هستند یعنی برابر $ cos( \frac{(2i-1)\pi}{2n} ) $ هستند.

$$T_{n-1} ( x_{i} )=cos[(n-1) \frac{(2i-1)\pi}{2n} ] =cos[ \frac{(2i-1)\pi}{2} -\frac{(2i-1)\pi}{2n} ]= (-1)^{i+1} sin(\frac{(2i-1)\pi}{2n} )$$

و همچنین: $$T'_{n} (x_{i}) =n \frac{sin(n \frac{(2i-1)\pi}{2n}) }{sin( \frac{(2i-1)\pi}{2n} )} = n\frac{(-1)^{i+1}}{sin(\frac{(2i-1)\pi}{2n} )} $$

یعنی $$ T_{n-1}( x_{i} ) \times T'_{n} (x_{i})=n $$

پس مخرج رابطه ی $ \eqref{1} $ برابر $ n$ و مقدار وزن برابر $ \frac{\pi}{n} $ است و چون برای هر $ i $ بود( $i $ را دلخواه گرفتیم ) پس حکم ثابت شد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...