چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
–1 امتیاز
53 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط 6arif
نمایش از نو توسط fardina

فرض کنید $(X، \tau )$ یک فضای توپولوژیک است، آنگاه گزاره زیر معادل اند : الف) X فشرده است. ب) هر تور $ \lbrace X_{ \alpha } \rbrace $ در X دارای یک زیر تور همگرا به نقطه ی $x \epsilon X$ است.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا عنوان مناسب بنویسید.
باید می نوشتید " یک فضای توپولوژیک فشرده است اگر و تنها اگر هر نتی دارای زیرنتی همگرا باشد"
دارای دیدگاه توسط fardina
میشه لطفا سوالتون رو ویرایش کنید و عنوان رو که گفتم عوض کنید؟
دارای دیدگاه توسط fardina
نباید سوالی که پاسخ گرفته رو پنهان کنید!

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط 6arif
 
بهترین پاسخ

روش زیر از کتاب Introduction to Banach Space Theory نوشته Megginson است.

تعریف: فرض کنید $(x_\alpha)$ یک نت در فضای توپولوژیک $X$ و $x\in X$ باشد. در اینصورت گوییم نت $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته می شود و $x$ را یک نقطه انباشتگی نت $(x_\alpha)$ گوییم هرگاه به ازای هر امسایگی $U$ از $x$ و هر $\alpha\in I$ یک $\beta\in I$ باشد(که وابسته به $U$ و $\alpha$ است) به طوریکه $\alpha \preceq \beta$ و $x_\beta\in U$. (توجه کنید منظور از $I$ همان مجموعه جهت دار در تعریف نت است).

گزاره: یک نت در یک فضای توپولوژیکی در یک نقطه انباشته می شود اگر و تنهااگر آن نت دارای زیر نتی همگرا به آن نقطه باشد.

اثبات: فرض کنید $(x_\alpha)$ نتی در یک فضای توپولوژیک باشد. اگر $(x_\alpha)$ دارای زیرنتی همگرا به نقطه ای مثل $x$ باشد در اینصورت آن زیر دنباله در $x$ انباشته می شود(چرا؟) و لذا $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته می شود(چرا؟)

برعکس فرض کنید $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته شود. $J$ را گردایه شامل تمام زوج های $(\alpha,U)$ بگیرید به طوریکه $\alpha\in I$ و $U$ یک همسایگی $x$ شامل عنصر $x_\alpha$ باشد. رابطه ی $(\alpha_1,U_1) \preceq (\alpha_2,U_2)$ را به صورت $\alpha_1 \preceq \alpha_2$ و $U_1\supset U_2$ تعریف کنید. در اینصورت $J$ یک مجموعه جهت دار است(چرا؟) برای هر $(\alpha,U)\in J $ قرار دهید $g(\alpha,U)=\alpha$ در اینصورت $x_{g(\alpha,U)}=\alpha$ یک زیر نت $x_\alpha$ است که به $x$ همگراست.

حال ثابت می کنیم که فضای توپولوژیک $X$ فشرده است وگر و تنها اگر هر نتی دارای زیرنتی همگرا باشد.

فرض کنید $(x_\alpha)$ نتی باشد که دارای زیرنت همگرا نیست یعنی نقطه انباشتگی نداشته باشد در اینصورت به ازای هر $x\in X$ همسایگی $U_x$ از $x$ و $\alpha_x$ موجود است که برای $\alpha_x\preceq \beta$ داریم $x_\beta\notin U_x$. در اینصورت گردایه ی ${U_x:x\in X}$ یک پوشش باز از فضاست لذا دارای زیر پوشش متناهی مثل $U_{x_1},U_{x_2},...,U_{x_n}$ است که تناقض است چرا که برای $\alpha_{x_1},...,\alpha_{x_n}\preceq \beta$ داریم $x_\beta\notin U_{x_1}\cup ...\cup U_{x_n}$ .

برعکس فرض کنید $X$ فشرده نباشد یعنی دارای پوشش بازی مثل $ \mathcal O$ باشد که دارای زیرپوشش متناهی نباشد. می توان فرض کرد این پوشش تحت اجتماع متناهی بسته است. حال $\mathcal O$ را با تعریف کردن رابطه $U\preceq V$ به صورت $U\subset V$ به مجموعه ای جهت دار تبدیل کنید. حال نت $(x_U)$ را به صورت $x_U\in X\setminus U$ تعریف کنید. در اینصورت برای $U_1\preceq U_2$ داریم $x_{U_2}\notin U_1$ که نتیجه می دهد این نت دارای نقطه انباشتگی نیست(چرا؟)

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
76 نفر آنلاین
0 عضو و 76 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5773
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4500893
...