چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
124 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Under sky

در معادله$$ \binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{5} $$ واضح است که یکی از جواب‌ها $n=3$ و دیگری $n=6$ است. آیا این معادله جواب دیگری دارد؟

دارای دیدگاه توسط Mohsen94
ویرایش شده توسط fardina
–2
0 هم هست
دوتا عدد دیگه هم هست اما اعشاری میشه
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
این یک پاسخ نیست.
باید همونطور که اشاره شده با ذکر جزییات پاسخ رو بنویسید. این جمله شما میتونست به عنوان یک دیدگاه باشه.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Mohsen94 زمانی‌که فرض بیشتری داده نشود تنها به دنبال اعداد طبیعی که عدد پائین از عدد بالا کوچکتریامساوی شود هستند. بنابراین صفر و اعداد اعشاری در این پرسش فاقد معنا و ارزش هستند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا واضح است که $$n+2=5 \Rightarrow n=3$$ حال با استفاده از اتحاد زیر

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

خواهیم داشت : $$\binom{2n+1}{n+2}=\binom{2n+1}{n-1}=\binom{2n+1}{5}$$ که واضح است :

$$n-1=5 \Rightarrow n=6$$

حال باید ثابت کنیم جواب دیگری ندارد ابتدا بسط میدهیم و جواب های $n > 6$ را پیدا میکنیم

$$(n-1)!(n+2)!=5!(2n-4)! \ \ \ \ \ \text{With} \ \ \ : \ \ n>6$$

اما داریم :

$$(2n-4)!\gt(2n-4)(2n-6)^2(2n-8)^2\cdots6^2\cdot4^2\cdot2^2=2^{2n-5}(n-2)!(n-3)!$$

و همچنین :

$${(n-1)!(n+2)!\over(n-2)!(n-3)!}=(n-1)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)\lt n^6$$

در نتیجه

$${(n-1)!(n+2)!\over5!(2n-4)!}\lt{n^6\over120\cdot2^{2n-5}}={4n^6\over15\cdot4^n}\lt1\quad\text{if }n\gt8$$

بنابراین با چک کردن $n=7,8$ که جواب نیستند . در می یابیم که برای $n > 6$ جواب نداریم . و همینطور برای $n > 0$ فقط $n=3 , 6$ است .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
75 نفر آنلاین
0 عضو و 75 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3525
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4705851
...