چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
259 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Math
ویرایش شده توسط admin

فرض کنید $ f : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ یک تابع کراندار با نمودار بسته باشد. ثابت کنید $ f $ پیوسته است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm

چون $f $ کراندار است لذا عدد حقیقی $ M $ وجود دارد به طوریکه $f(x)\leq M $ . برای پیوستگی کافی است ثابت کنیم به ازای هر دنباله $ x_n\to x $ داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .

دنباله ی $ (x_n, f(x_n)) $ در $\mathbb R^2 $در مجموعه ی $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $ قرار میگیرد. ولی از آنالیز ریاضی 1 دوره کارشناسی به یاد داریم که اگر $ x_n\to x $ آنگاه $ \{x_n\}\cup\{x\}$ فشرده است. و چون $[-M,M] $ هم فشرده است لذا $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $ نیز فشرده است. اما هر دنباله در یک مجموعه فشرده دارای زیر دنباله ی همگراست پس دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ در $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $دارای زیر دنباله ای همگرا مثل $ \{(x_{n_k},f(x_{n_k}))\} $ دارد. توجه داریم که چون $ \Gamma_f $بسته است نقطه همگرایی دنباله در آن می افتد یعنی نقطه همگرایی دنباله $(x_{n_k}, f(x_{n_k})) $ باید به صورت $ (x', f(x'))$ باشد . ولی چون $ x_n\to x $ پس هر زیردنباله آن هم به $x $همگراست یعنی $ x=x' $ و $f(x_{n_k})\to f(x) $ . بنابراین $f$ پیوسته است.

در واقع اگر زیر دنباله ی دیگری از $ \{(x_n,f(x_n))\} $ همگرا باشد مثلا $ \{(x_{n_t},f(x_{n_t}))\} $ و به $ ( x_{1} , f(x_{1}))$ همگرا باشد یعنی $\{(x_{n_t} \}$ به $ x_{1} $ همگراست اما از آنجایی که $ x_n\to x $ داریم که $ x_{1}=x$ یعنی هر زیر دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ به $ ( x , f(x))$ همگراست لذا داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .

سوال شده آذر ۲۸, ۱۳۹۳ در دانشگاه توسط بی نام
+1 امتیاز
همگرایی مقدار دنباله و مقدار زیر دنباله؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
49 نفر آنلاین
1 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3490
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687298
...