چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
137 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $ A $ یک عملگر خطی کراندار روی فضای باناخ $X $ باشد. درصورتی که برای هر عملگر فشرده $K $ داشته باشیم $ AK=KA $، نشان دهید $ A $ ضریب اسکالری از عملگر همانی است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم

1)ابتدا ثابت میکنیم برای هر $ x \in X $ وجود دارد $ \alpha _{x} $ بطوریکه $A(x)= \alpha _{x} x $

2)ثابت میکنیم برای هر $x,y $ داریم $ \alpha _{x} = \alpha _{y} = \alpha $ یعنی $A(x)= \alpha x $ برای هر $ x \in X $

اثبات 1)ار برهان خلف استفاده میکنیم فرض کنید$ x \in X $ وجود دارد بطوریکه $ A(x)$ مضربی از $ x $ نیست (یعنی $ A(x) \neq 0 $ )حال زیر فضای تولید شده توسط $A(x),x $ را در نظر میگیریم و تابع $ \varphi $ را بصورت زیر تعریف میکنیم(روی مولد ها) $$ \varphi (x)=1 \ \ \ \ \ \ , \ \ \varphi (A(x))=0 $$ این تابع خطی روی زیر فضای تولید شده توسط $A(x),x $ پیوسته است پس طبق قضیه هان-باناخ گسترش پیوسته ای به $ X $ مانند $ \widetilde{\varphi} $ دارد. حال تعریف میکنیم: $ K(y)= \widetilde{\varphi} (y)x$ طبق فرض مساله باید برای هر عنصر در $ X $ داشته باشیم $ AK=KA $ برای $x $ داریم: $$KA(x)=K(A(x))= \widetilde{\varphi} (A(x))x =0x=0$$ که باید برابر $$ AK(x)=A( \widetilde{\varphi} (x)x)=A(1x)=A(x)$$ باشدو این تناقض است با اینکه فرض کردیم $ A(x)$ مضربی از $ x $ نیست(مضرب صفر از آن است)

اثبات 2) برای دو عنصر مستقل خطی $ x_{1} , x_{2} $ توابع خطی مانند $ \varphi_{1} , \varphi_{2} $ موجودند که :

$$ \varphi_{1}( x_{1} )=1 \ \ , \ \varphi_{1}(x_{2})=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi_{2}( x_{1} )=0 \ \ , \ \varphi_{2}(x_{2})=1 $$

تعریف میکنیم : $ K(x)=\varphi_{1}( x)x_{2}+ \varphi_{2}( x )x_{1}$ لذا $ K( x_{1})= x_{2}$ و $ K( x_{2})= x_{1}$ داریم:

$$AK(x_{1})=A(x_{2})= \alpha _{x_{2}}x_{2}$$ باید برابر $$KA(x_{1})=K(\alpha _{x_{1}}x_{1})= \alpha _{x_{1}}K(x_{1})= \alpha _{x_{1}}x_{2}$$ باشد. پس داریم: $$ \alpha _{x_{1}}= \alpha _{x_{2}} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 758
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709900
...