به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
147 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید $ A $ یک عملگر خطی کراندار روی فضای باناخ $X $ باشد. درصورتی که برای هر عملگر فشرده $K $ داشته باشیم $ AK=KA $، نشان دهید $ A $ ضریب اسکالری از عملگر همانی است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم

1)ابتدا ثابت میکنیم برای هر $ x \in X $ وجود دارد $ \alpha _{x} $ بطوریکه $A(x)= \alpha _{x} x $

2)ثابت میکنیم برای هر $x,y $ داریم $ \alpha _{x} = \alpha _{y} = \alpha $ یعنی $A(x)= \alpha x $ برای هر $ x \in X $

اثبات 1)ار برهان خلف استفاده میکنیم فرض کنید$ x \in X $ وجود دارد بطوریکه $ A(x)$ مضربی از $ x $ نیست (یعنی $ A(x) \neq 0 $ )حال زیر فضای تولید شده توسط $A(x),x $ را در نظر میگیریم و تابع $ \varphi $ را بصورت زیر تعریف میکنیم(روی مولد ها) $$ \varphi (x)=1 \ \ \ \ \ \ , \ \ \varphi (A(x))=0 $$ این تابع خطی روی زیر فضای تولید شده توسط $A(x),x $ پیوسته است پس طبق قضیه هان-باناخ گسترش پیوسته ای به $ X $ مانند $ \widetilde{\varphi} $ دارد. حال تعریف میکنیم: $ K(y)= \widetilde{\varphi} (y)x$ طبق فرض مساله باید برای هر عنصر در $ X $ داشته باشیم $ AK=KA $ برای $x $ داریم: $$KA(x)=K(A(x))= \widetilde{\varphi} (A(x))x =0x=0$$ که باید برابر $$ AK(x)=A( \widetilde{\varphi} (x)x)=A(1x)=A(x)$$ باشدو این تناقض است با اینکه فرض کردیم $ A(x)$ مضربی از $ x $ نیست(مضرب صفر از آن است)

اثبات 2) برای دو عنصر مستقل خطی $ x_{1} , x_{2} $ توابع خطی مانند $ \varphi_{1} , \varphi_{2} $ موجودند که :

$$ \varphi_{1}( x_{1} )=1 \ \ , \ \varphi_{1}(x_{2})=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi_{2}( x_{1} )=0 \ \ , \ \varphi_{2}(x_{2})=1 $$

تعریف میکنیم : $ K(x)=\varphi_{1}( x)x_{2}+ \varphi_{2}( x )x_{1}$ لذا $ K( x_{1})= x_{2}$ و $ K( x_{2})= x_{1}$ داریم:

$$AK(x_{1})=A(x_{2})= \alpha _{x_{2}}x_{2}$$ باید برابر $$KA(x_{1})=K(\alpha _{x_{1}}x_{1})= \alpha _{x_{1}}K(x_{1})= \alpha _{x_{1}}x_{2}$$ باشد. پس داریم: $$ \alpha _{x_{1}}= \alpha _{x_{2}} $$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...