چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
866 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط erfanm

گیریم $ \big( \lambda _{1}, \lambda _{2} , \lambda _{3} ,... \big) $ یک دنباله کراندار از اعداد حقیقی باشد. برای $1 \leq p \prec \infty $ عملگر خطی کراندار $ \phi :l^{p} \rightarrow l^{p} $را به صورت زیر تعریف میکنیم: $ \phi \big(x_{1}, x_{2} , x _{3} ,... \big) $ برابر
$ \big( \lambda _{1} x_{1} , \lambda _{2} x_{2} , \lambda _{3} x_{3} ,... \big) $

نشان دهید $ \phi $ فشرده است اگر و فقط اگر $ lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} =0 $

دارای دیدگاه توسط admin
+1
خیلی ممنون برای طرح سوالتون.
ولی قانون سایت بر اینه که تلاش خودتون برای حل مساله رو بنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

فرض عملگر خطی $ \phi $ فشرده باشد. ثابت میکنیم اگر مقدار حد صفر نباشد آنگاه عملگر خطی $ \phi $ فشرده نیست.لذا باید حد صفر باشد.

فرض کنید $ lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} \neq 0 $ باشد لذا طبق تعریف $ \epsilon > 0 $ و زیر دنباله ای مانند $ \{\lambda _{ n_{k} }\} $ موجود ند به طوریکه $ \mid \lambda _{ n_{k} } \mid \geq \epsilon $ .

حال دنباله ی $\{e _{k }\} $ را در نظر میگیریم .( $e _{k } $ برداری است که مولفه ی $ k $ ام آن $1$ و مابقی مولفه ها صفر هستند) طبق تعریف $ \phi $ مقدار $ \phi(e _{k }) $ برداری است که مولفه ی $ k $ ام آن $\lambda _{k}$ و مابقی مولفه ها صفر هستند.بنابر این برای هر $ i,j $ که $\lambda _{i} $ و $ \lambda _{j}$ در زیر دنباله ی ذکر شده هستند داریم: $ || \phi(e _{i })- \phi(e _{j })||_{p} \geq \sqrt[p]{2} \epsilon $

حال گوی های باز به مرکز $ \phi(e _{n_{k} }) $ و شعاع $ \frac{ \epsilon }{2} $ رادر نظر میگیریم در واقع نامتناهی گوی باز جدا از هم رو در $ \overline{ \phi( B_{l^{p} } )} $ ساخته ایم و این نشان میدهد که $\overline{ \phi( B_{l^{p} } )} $ فشرده نیست اما طبق تعریف عملگر فشرده باید بستار تصویر هر مجموعه ی کراندار، فشرده باشد یعنی عملگر فشرده نیست و این با فرض مساله در تناقض است لذا حد دنباله ی اصلی برابر صفر است.

برعکس:

فرض کنید $ lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} =0 $ باشد نشان میدهیم عملگر $ \phi $ فشرده است. تعریف میکنیم:

$$ \phi _{n} (e _{k } ) =\begin{cases} \lambda _{k} e _{k } & k \leq n\\0 & k> n\end{cases} $$

از آنجایی که $ \phi_{n}$ دارای رنک متناهی است لذا فشرده است. برای هر $ x=( x_{1} , x_{2} , x_{3} ,...) $ داریم: $$|| (\phi- \phi_{n})(x)||^{p}= \sum_{k=1}^{+ \infty } { \mid < ((\phi- \phi_{n})(x))_{k} > \mid }^{p} = \sum_{k \geq n+1}^{} \mid (\phi- \phi_{n}(x_{k} )) \mid^{p} \leq sup_{k \geq n+1} \mid \lambda _{k}\mid^{p} \parallel x \parallel_{l^{p}} ^{p} $$ بنابر این

$ \parallel (\phi- \phi_{n})(x) \parallel \leq sup_{k \geq n+1} \mid \lambda _{k}\mid $ یعنی $\phi_{n} $ به $ \phi$ در نرم همگراست و میدانیم حد (در نرم) یک دنباله از عملگرهای فشرده، خود فشرده است. و لذا حکم ثابت شد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1789
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704116
...