چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
51 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط iman_aa

جواب عمومی معادله زیر را به صورت سری توانی حول صفر بیابید. $ e^{x}y'' + xy = 0 $

مرجع: معادلات دیفرانسیل معدلی - دکتر طائری فصل 3 سری های توانی
دارای دیدگاه توسط iman_aa
+1
AmirHosein@ درست نمی دونستم کدام کتاب هست بین معادلات دیفرانسیل معدلی و دکتر طائری

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo

سلام دوست عزیز,

ابتدا معادله $e^xy''+xy=0$ را باز نویسی می کنیم. $y''+xe^{-x}y=0$ حال همانطور که می دانید با استفاده از روش سری توانی حول صفر, عبارت $y=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}$ , $\displaystyle e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$ را در معادله فوق با محاسبه $y''=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}$ و جایگذاری در معادله داریم:

$$\to\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+xe^{-x}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}=0$$

$$\to\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+x\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}\right)=0$$ حال با استفاده از ضرب کشی سری های فوق را درهم ضرب می کنیم و داریم:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+x\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{b_kx^k(-1)^{n-k}x^{n-k}}{k!(n-k)!}=0$$

بعد از کمی محاسبه داریم:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+\sum\limits_{n=3}^\infty\left(\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k\right)\dfrac{x^{n-2}}{(n-3)!}=0$$

$$\to b_2+\sum\limits_{n=3}^\infty\left(\dfrac{b_n}{n-2}+\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k\right)\dfrac{x^{n-2}}{(n-3)!}=0$$

و سرانجام داریم:

$$\begin{cases}b_2=0\ \dfrac{b_n}{n-2}+\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k=0\end{cases}$$

که محاسبه ضرایب $b_n$ با روش های موجود مساله ای دیگری است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
76 نفر آنلاین
0 عضو و 76 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3520
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4705846
...