به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
66 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط iman_aa

جواب عمومی معادله زیر را به صورت سری توانی حول صفر بیابید. $ e^{x}y'' + xy = 0 $

مرجع: معادلات دیفرانسیل معدلی - دکتر طائری فصل 3 سری های توانی
دارای دیدگاه توسط iman_aa
+1
AmirHosein@ درست نمی دونستم کدام کتاب هست بین معادلات دیفرانسیل معدلی و دکتر طائری

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo

سلام دوست عزیز,

ابتدا معادله $e^xy''+xy=0$ را باز نویسی می کنیم. $y''+xe^{-x}y=0$ حال همانطور که می دانید با استفاده از روش سری توانی حول صفر, عبارت $y=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}$ , $\displaystyle e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$ را در معادله فوق با محاسبه $y''=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}$ و جایگذاری در معادله داریم:

$$\to\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+xe^{-x}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}=0$$

$$\to\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+x\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}\right)=0$$ حال با استفاده از ضرب کشی سری های فوق را درهم ضرب می کنیم و داریم:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+x\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{b_kx^k(-1)^{n-k}x^{n-k}}{k!(n-k)!}=0$$

بعد از کمی محاسبه داریم:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+\sum\limits_{n=3}^\infty\left(\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k\right)\dfrac{x^{n-2}}{(n-3)!}=0$$

$$\to b_2+\sum\limits_{n=3}^\infty\left(\dfrac{b_n}{n-2}+\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k\right)\dfrac{x^{n-2}}{(n-3)!}=0$$

و سرانجام داریم:

$$\begin{cases}b_2=0\ \dfrac{b_n}{n-2}+\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k=0\end{cases}$$

که محاسبه ضرایب $b_n$ با روش های موجود مساله ای دیگری است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...